Што такое акружнасць як геаметрычная фігура: асноўныя ўласцівасці і характарыстыкі

Каб у агульных рысах уявіць сабе, што такое акружнасць, зірніце на кальцо або абруч. Можна таксама ўзяць круглы шклянку і кубак, паставіць уверх дном на ліст паперы і абвесці алоўкам. Пры шматразовым павелічэнні атрыманая лінія стане тоўстай і не зусім роўнай, і краю яе будуць размытымі. Акружнасць як геаметрычная фігура не мае такой характарыстыкі, як таўшчыня.

Акружнасць: вызначэнне і асноўныя сродкі апісання

Акружнасць - гэта замкнёная крывая, якая складаецца з мноства кропак, размешчаных у адной плоскасці і роўнааддаленымі ад цэнтра акружнасці. Пры гэтым цэнтр знаходзіцца ў той жа плоскасці. Як правіла, ён пазначаецца літарай О.

Адлегласць ад любой з кропак акружнасці да цэнтра называецца радыусам і пазначаецца літарай R.

Калі злучыць дзве любыя пункту акружнасці, то атрыманы адрэзак будзе называцца хорд. Хорда, якая праходзіць праз цэнтр акружнасці, - гэта дыяметр, які пазначаецца літарай D. Дыяметр дзеліць акружнасць на дзве роўныя дугі і па даўжыні ўдвая перавышае памер радыусу. Такім чынам, D = 2R, або R = D / 2.

ўласцівасці хорд

1. Калі праз два любыя пункту акружнасці правесці хорды, а затым перпендыкулярна апошняй - радыус або дыяметр, то гэты адрэзак разаб'е і хорды, і дугу, адсечаную ёю, на дзве роўныя часткі. Дакладна і адваротнае зацвярджэнне: калі радыус (дыяметр) дзеліць хорд напалову, то ён перпендыкулярны ёй.
2. Калі ў межах адной і той жа акружнасці правесці дзве паралельныя хорды, то дугі, адсячэнне імі, а таксама заключаныя паміж імі, будуць роўныя.
3. Правядзем дзве хорды PR і QS, перасякальныя ў межах акружнасці ў кропцы T. Твор адрэзкаў адной хорды заўсёды будзе роўна твору адрэзкаў іншы хорды, то ёсць PT х TR = QT х TS.

Даўжыня акружнасці: агульнае паняцце і асноўныя формулы

Адной з базавых характарыстык дадзенай геаметрычнай фігуры з'яўляецца даўжыня акружнасці. Формула выводзіцца з выкарыстаннем такіх велічынь, як радыус, дыяметр і канстанта "π", якая адлюстроўвае сталасць адносіны даўжыні акружнасці да яе дыяметру.

Такім чынам, L = πD, або L = 2πR, дзе L - гэта даўжыня акружнасці, D - дыяметр, R - радыус.

Формула даўжыні акружнасці можа разглядацца як зыходная пры знаходжанні радыуса або дыяметра па зададзенай даўжыні акружнасці: D = L / π, R = L / 2π.

Што такое акружнасць: асноўныя пастулаты

1. Прамая і акружнасць могуць размяшчацца на плоскасці наступным чынам:

• ня мець агульных кропак;
• мець адну агульную кропку, пры гэтым прамая называецца датычнай: калі правесці радыус праз цэнтр і кропку дотыку, то ён будзе перпендыкулярны датычнай;
• мець дзве агульныя кропкі, пры гэтым прамая называецца сечнай.

2. Праз тры адвольныя пункту, якія ляжаць у адной плоскасці, можна правесці не больш за адну акружнасці.

3. Дзве акружнасці могуць датыкацца толькі ў адным пункце, якая размешчана на адрэзку, які злучае цэнтры гэтых акружнасцяў.

4. Пры любых паваротах адносна цэнтра акружнасць пераходзіць сама ў сябе.

5. Што такое акружнасць з пункту гледжання сіметрыі?

• аднолькавая крывізна лініі ў любы з кропак;
• цэнтральная сіметрыя адносна кропкі Аб;
• люстраная сіметрыя адносна дыяметра.

6. Калі пабудаваць два адвольных упісаных кута, якія абапіраюцца на адну і тую ж дугу акружнасці, яны будуць роўныя. Кут, які абапіраецца на дугу, роўную палове даўжыні акружнасці, то ёсць адсечаную хорд-дыяметрам, заўсёды роўны 90 °.

7. Калі параўноўваць замкнёныя крывыя лініі аднолькавай даўжыні, то атрымаецца, што акружнасць адмяжоўвацца ўчастак плоскасці найбольшай плошчы.

Акружнасць, ўпісаная ў трохкутнік і апісаная каля яго

Ўяўленне пра тое, што такое акружнасць, будзе няпоўным без апісання асаблівасцяў ўзаемасувязі гэтай геаметрычнай фігуры з трыкутнікамі.

1. Пры пабудове акружнасці, упісанай у трохвугольнік, яе цэнтр заўсёды будзе супадаць з пунктам перасячэння медыян кутоў трыкутніка.
2. Цэнтр акружнасці, апісанай каля трохвугольніка, размяшчаецца на скрыжаванні сярэдніх перпендыкуляраў да кожнай з бакоў трыкутніка.
3. Можа, каб апісаць акружнасць каля прастакутнага трыкутніка, то яе цэнтр будзе знаходзіцца на сярэдзіне гіпатэнузы, то ёсць апошняя будзе з'яўляцца дыяметрам.
4. Цэнтры упісанай і апісанай акружнасцяў будуць знаходзіцца ў адным пункце, калі базай для пабудовы з'яўляецца роўнабаковага трыкутніка.

Асноўныя сцвярджэнні аб акружнасці і чатырохвугольніка

1. Вакол выпуклага чатырохвугольніка можна апісаць акружнасць толькі тады, калі сума яго процілеглых ўнутраных кутоў раўняецца 180 °.
2. Пабудаваць ўпісана ў выпуклы чатырохвугольнік акружнасць можна, калі аднолькавая сума даўжынь яго процілеглых бакоў.
3. Апісаць акружнасць вакол паралелаграма можна, калі яго куты прамыя.
4. Ўпісаць у паралелаграм акружнасць можна ў тым выпадку, калі ўсе яго боку роўныя, гэта значыць ён з'яўляецца ромбам.
5. Пабудаваць акружнасць праз куты трапецыі можна, толькі калі яна роўнабаковы. Пры гэтым цэнтр апісанай акружнасці будзе размяшчацца на скрыжаванні восі сіметрыі чатырохвугольніка і сярэдняга перпендыкуляра, праведзенага да бакавіцы.