Прастакутны трыкутнік: паняцце і ўласцівасці

Рашэнне геаметрычных задач патрабуе велізарнай колькасці ведаў. Адным з асноватворных азначэнняў гэтай навукі з'яўляецца прастакутны трыкутнік.

Пад гэтым паняццем разумеецца геаметрычная фігура, якая складаецца з трох кутоў і бакоў, прычым велічыня аднаго з кутоў складае 90 градусаў. Боку, складнікі прамы кут, носяць назвы катэты, трэцяя ж бок, якая противолежит яму, носіць назву гіпатэнузы.

Калі катэты ў такой постаці роўныя, яна называецца роўнабаковы прастакутны трыкутнік. У гэтым выпадку мае месца прыналежнасць да двух відах трыкутнікаў, а значыць, выконваюцца ўласцівасці абедзвюх груп. Успомнім, што куты ў падставы роўнабаковага трыкутніка абсалютна заўсёды роўныя, такім чынам вострыя куты такой фігуры будуць уключаць па 45 градусаў.

Наяўнасць аднаго з наступных уласцівасцяў дазваляе сцвярджаць, што адзін прастакутны трыкутнік роўны іншаму:

1. катэты двух трыкутнікаў роўныя;
2. фігуры маюць аднолькавыя гіпатэнузу і адзін з катэт;
3. роўныя гіпатэнуза і любы з вострых кутоў;
4. выконваецца ўмова роўнасці катэта і вострага вугла.

Плошчу прастакутнага трыкутніка з лёгкасцю вылічаецца як пры дапамозе стандартных формул, так і як велічыня, роўная палове творы яго катэт.

У прамавугольным трохвугольніку выконваюцца наступныя суадносіны:

1. катэт ёсць не што іншае, як сярэдняе прапарцыйнае гіпатэнузы і яго праекцыі на яе;
2. калі апісаць каля прастакутнага трыкутніка акружнасць, яе цэнтр будзе знаходзіцца ў сярэдзіне гіпатэнузы;
3. вышыня, праведзеная з прамога кута, уяўляе сабой сярэдняе прапарцыйнае з праекцыямі катэт трыкутніка на яго гіпатэнузу.

Цікавым з'яўляецца тое, што якім бы ні быў прастакутны трыкутнік, ўласцівасці гэтыя заўсёды выконваюцца.

Тэарэма Піфагора

Апрача вышэйназваных уласцівасцяў для прастакутных трыкутнікаў характэрна захаванне наступнага ўмовы: квадрат гіпатэнузы роўны суме квадратаў катэт. Тэарэма гэтая носіць назву па імі яе заснавальніка - тэарэма Піфагора. Ён адкрыў гэтыя суадносіны, калі займаўся вывучэннем уласцівасцяў квадратаў, пабудаваных на баках прамавугольнага трохвугольніка.

Для доказу тэарэмы пабудуем трохкутнік АВС, катэты у якога пазначым a і b, а гіпатэнузу с. Далей пабудуем два квадрата. У аднаго бокам будзе з'яўляцца гіпатэнуза, у іншага сума двух катэт.

Тады плошча першага квадрата можна будзе знайсці двума спосабамі: як суму плошчаў чатырох трыкутнікаў АВС і другога квадрата, альбо як квадрат боку, натуральна, што суадносін гэтыя будуць роўныя. Гэта значыць:

з ² + 4 (ab / 2) = (a + b) ^2, преобразуем атрыманае выраз:

з ² +2 ab = a ² + b ² + 2 ab

У выніку атрымліваем: з ² = a ² + b ²

Такім чынам, геаметрычная фігура прастакутны трыкутнік адпавядае не толькі ўсіх уласцівасцях, характэрным для трыкутнікаў. Наяўнасць прамога кута вядзе да таго, што фігура валодае іншымі унікальнымі суадносінамі. Іх вывучэнне спатрэбіцца не толькі ў навуцы, але і ў паўсядзённым жыцці, бо такая фігура, як прастакутны трыкутнік, сустракаецца паўсюдна.