Як знайсці вяршыню парабалы і пабудаваць яе

У матэматыцы ёсць цэлы цыкл тоеснасцей, сярод якіх значнае месца займаюць квадратычныя ўраўненні. Падобныя роўнасці могуць вырашацца як асобна, так і для пабудовы графікаў на восі каардынат. Карані квадратных раўнанняў з'яўляюцца кропкамі перасячэння парабалы і прамой ох.

Агульны выгляд

Квадратнае раўнанне ў агульным выглядзе мае наступную структуру:

ax ² + bx + c = 0

У ролі "ікса" могуць разглядацца як асобныя зменныя, так і цэлыя выразы. напрыклад:

2x ² + 5x-4 = 0;

(x + 7) ² +3 (x + 7) + 2 = 0.

У тым выпадку, калі ў ролі х выступае выраз, неабходна прадставіць яго як зменную і знайсці карані ўраўненні. Пасля гэтага да іх прыраўняць мнагачлена і знайсці х.

Так, калі (х + 7) = а, то раўнанне прымае выгляд а ² + 3а + 2 = 0.

Д = 3 ² -4 * 1 * 2 = 1;

а ₁ = (- 3-1) / 2 * 1 = -2;

а ₂ = (- 3 + 1) / 2 * 1 = -1.

Пры каранях, роўных -2 і -1, атрымаем наступнае:

x + 7 = -2 і x + 7 = -1;

x = -9 і x = -8.

Карані з'яўляюцца значэннем х-каардынаты пункту перасячэння парабалы з воссю абсцыс. У прынцыпе, іх значэнне не так ужо і важна, калі пастаўлена задача толькі знайсці вяршыню парабалы. Але для пабудовы графіка карані гуляюць важную ролю.

Як знайсці вяршыню парабалы

Вернемся да пачатковага раўнанні. Для адказу на пытанне аб тым, як знайсці вяршыню парабалы, неабходна ведаць наступную формулу:

x _УП = -b / 2a,

дзе х _УП - гэта значэнне х-каардынаты шуканай кропкі.

Але як знайсці вяршыню парабалы без значэння у-каардынаты? Падстаўляем атрыманае значэнне х у раўнанне і знаходзім шуканую зменную. Напрыклад, вырашым наступнае раўнанне:

х ² + 3х-5 = 0

Знаходзім значэнне х-каардынаты для вяршыні парабалы:

х _УП = -b / 2a = -3 / 2 * 1;

х _УП = -1,5.

Знаходзім значэнне у-каардынаты для вяршыні парабалы:

у = 2х ² + 4х-3 = (- 1,5) ² +3 * (- 1,5) -5;

у = -7,25.

У выніку атрымліваем, што вяршыня парабалы знаходзіцца ў кропцы з каардынатамі (-1,5; -7,25).

пабудова парабалы

Парабалу ўяўляе сабой злучэнне кропак, якое мае вертыкальную вось сіметрыі. Па гэтай прычыне само яе пабудова не ўяўляе адмысловай працы. Самае складанае - гэта вырабіць правільныя разлікі каардынатаў кропак.

Варта звярнуць асаблівую ўвагу на каэфіцыенты квадратнага ўраўнення.

Каэфіцыент а ўплывае на кірунак парабалы. У тым выпадку, калі ён мае адмоўнае значэнне, галіны будуць накіраваныя ўніз, а пры станоўчым знаку - уверх.

Каэфіцыент b паказвае, наколькі шырокі будзе рукаў парабалы. Чым больш яго значэнне, тым ён будзе шырэй.

Каэфіцыент з паказвае на зрушэнне парабалы па восі ОУ адносна пачатку каардынатаў.

Як знайсці вяршыню парабалы, мы ўжо даведаліся, а каб знайсці карані, варта кіравацца наступнымі формуламі:

Д = b ² -4ac,

дзе Д - гэта дискриминант, які неабходны для знаходжання каранёў ўраўненні.

x ₁ = (- b + V ^- Д) / 2a

x ₂ = (- bV ^- Д) / 2a

Атрыманыя значэння х будуць адпавядаць нулявым значэнняў у, бо яны з'яўляюцца кропкамі перасячэння з воссю ОХ.

Пасля гэтага адзначаем на каардынатнай плоскасці вяршыню парабалы і атрыманыя значэння. Для больш дэталёвага графіка неабходна знайсці яшчэ некалькі кропак. Для гэтага выбіраем любое значэнне х, дапушчальнае вобласцю вызначэння, і падстаўляем яго ў раўнанне функцыі. Вынікам вылічэнняў будзе каардыната кропкі па восі ОУ.

Каб спрасціць працэс пабудовы графіка, можна правесці вертыкальную лінію праз вяршыню парабалы і перпендыкулярна восі ОХ. Гэта будзе вось сіметрыі, пры дапамозе якой, маючы адну кропку, можна пазначыць і другую, роўнааддаленымі ад праведзенай лініі.