Цыліндр, плошча цыліндру

Цыліндр (паходзіць з грэцкай мовы, ад слоў "каток", "валік") - гэта геаметрычнае цела, якое абмежавана звонку паверхняй, што завецца цыліндрычнай, і дзвюма плоскасцямі. Дадзеныя плоскасці перасякаюць паверхню фігуры і з'яўляюцца раўналежнымі адзін аднаму.

Цыліндрычная паверхню - гэта паверхня, якая атрымана паступальнымі рухамі прамой лініі ў прасторы. Гэтыя рухі такія, што выдзеленая кропка гэтай прамой лініі здзяйсняе рух ўздоўж крывой плоскага тыпу. Такая прамая лінія называецца утваральнай, а крывая лінія - накіроўвалай.

Цыліндр складаецца з пары падстаў і бакавы цыліндрычнай паверхні. Цыліндры бываюць некалькіх выглядаў:

1. Кругавы, прамой цыліндр. У такога цыліндру падставы і накіроўвалая перпендыкулярныя утваральнай лініі, і маецца вось сіметрыі.

2. Нахілены цыліндр. У яго кут паміж утваральнай лініяй і падставай не з'яўляецца прамым.

3. Цыліндр іншай формы. Гіпербалічны, эліптычны, парабалічны і іншыя.

Плошчу цыліндру, а таксама плошчу поўнай паверхні любога цыліндру знаходзіцца з дапамогай складання плошчаў падстаў гэтай фігуры і плошчы бакавой паверхні.

Формула, па якой вылічаецца поўная плошча цыліндру для кругавога, прамога цыліндру:

Sp = 2П Rh + 2П R2 = 2П R (h + R).

Плошча бакавой паверхні шукаецца ледзь складаней, чым плошча цыліндру цалкам, яна вылічаецца шляхам множання даўжыні утваральнай лініі на перыметр сячэння, адукаванага плоскасцю, якая перпендыкулярная утваральнай лініі.

Дадзеная плошчу паверхні цыліндру для кругавога, прамога цыліндру пазнаецца па разгортцы гэтага аб'екта.

Разгортка - гэта прастакутнік, які мае вышыню h і даўжыню P, якая прыраўноўваецца перыметры падставы.

Адсюль вынікае, што бакавыя плошчу цыліндру з'яўляецца роўнай плошчы разгорткі і можа быць вылічаная па дадзенай формуле:

Sb = Ph.

Калі ўзяць кругавой, прамой цыліндр, то для яго:

P = 2П R, а Sb = 2П Rh.

Калі цыліндр нахільны, то плошча бакавой паверхні павінна быць роўная твору даўжыні яго утваральнай лініі і перыметра перасеку, якое перпендыкулярна дадзенай утваральнай лініі.

На жаль, не існуе просты формулы для выражэння плошчы бакавой паверхні нахільнага цыліндру праз яго вышыню і параметры яго заснавання.

Каб вылічыць плошчу перасеку цыліндру, неабходна ведаць некалькі фактаў. Калі перасек сваёй плоскасцю перасякае падставы, то такое перасек заўсёды мае прастакутную форму. Але гэтыя прастакутнікі будуць рознымі, у залежнасці ад становішча перасеку. Адна з бакоў восевага перасеку фігуры, якое перпендыкулярна падставах, роўная вышыні, а іншая - дыяметру падставы цыліндру. А плошча такога перасеку, адпаведна, прыраўноўваецца твору аднаго боку прамавугольніка на іншую, перпендыкулярную першай, або твору вышыні дадзенай фігуры на дыяметр яго заснавання.

Калі перасек будзе перпендыкулярна падставах фігуры, але не будзе праходзіць праз вось кручэння, то плошча гэтага перасеку будзе роўная твору вышыні гэтага цыліндру і пэўнай хорды. Каб атрымаць хорды, трэба пабудаваць акружнасць ў падставы цыліндру, правесці радыус і адкласці на ім адлегласць, на якім знаходзіцца сячэнне. А ад гэтага пункту трэба правесці перпендыкуляры да радыусе ад скрыжавання з акружнасцю. Пункту перасячэння злучаюцца з цэнтрам. А падстава трыкутніка - гэта шуканая Хорда, даўжыня якой шукаецца па тэарэме Піфагора. Тэарэма Піфагора гучыць так: «Сума квадратаў двух катэт роўная гіпатэнузе, збудаванай у квадрат»:

С2 = А2 + В2.

Калі перасек не закранае падставы цыліндру, а сам цыліндр кругавой і прамой, то плошча гэтага перасеку знаходзіцца як плошча акружнасці.

Плошчу акружнасці роўная:

S акр. = 2П R2.

Каб знайсці радыус акружнасці R, трэба яе даўжыню C падзяліць на 2П:

R = C \ 2П, дзе п - колькасць пі, матэматычная пастаянная, вылічэнні для працы з дадзенымі акружнасці і роўная 3,14.