Гісторыя тэарэмы Піфагора. доказ тэарэмы

Гісторыя тэарэмы Піфагора налічвае некалькі тысячагоддзяў. Зацвярджэнне, якое абвяшчае, што квадрат гіпатэнузы роўны суме квадратаў катэт, было вядома яшчэ задоўга да нараджэння грэцкага матэматыка. Аднак тэарэма Піфагора, гісторыя стварэння і доказы яе звязваюцца для большасці менавіта з гэтым навукоўцам. Паводле некаторых крыніц, да гэтага спрычынілася першае доказ тэарэмы, якое было прыведзена Піфагорам. Аднак частка даследчыкаў абвяргае гэты факт.

Музыка і логіка

Перш чым распавесці, як складалася гісторыя тэарэмы Піфагора, коратка спынімся на біяграфіі матэматыка. Жыў ён у VI стагоддзі да нашай эры. Датай нараджэння Піфагора лічыцца 570 год да н. э., месцам - востраў Самос. Пра жыццё вучонага пэўна вядома няшмат. Біяграфічныя дадзеныя ў старажытнагрэцкіх крыніцах пераплятаюцца з відавочным выдумкай. На старонках трактатаў ён паўстае вялікім мудрацом, пышна якія валодаюць словам і уменнем пераконваць. Дарэчы, менавіта таму грэцкага матэматыка і празвалі Піфагорам, гэта значыць «які пераконвае прамовай». Па іншай версіі, нараджэнне будучага мудраца прадказала Пифия. Бацька ў яе гонар назваў хлопчыка Піфагорам.

Мудрэц вучыўся ў вялікіх розумаў таго часу. Сярод выкладчыкаў маладога Піфагора значацца Гермодамант і Ферекид Сиросский. Першы прышчапіў яму любоў да музыкі, другі навучыў філасофіі. Абедзве гэтыя навукі застануцца ў цэнтры ўвагі вучонага на працягу ўсёй яго жыцця.

Навучанне даўжынёй у 30 гадоў

Па адной з версій, быўшы дапытлівым юнакоў, Піфагор пакінуў радзіму. Ён адправіўся шукаць ведаў у Егіпет, дзе прабыў, згодна з розных крыніцах, ад 11 да 22 гадоў, а затым трапіў у палон і быў адпраўлены ў Вавілон. Піфагор змог атрымаць карысць з свайго становішча. На працягу 12 гадоў ён вывучаў матэматыку, геаметрыю і магію ў старажытнай дзяржаве. На Самос Піфагор вярнуўся толькі ў 56 гадоў. Тут у той час правілаў тыран Поликрат. Піфагор не змог прыняць такую палітычную сістэму і неўзабаве адправіўся на поўдзень Італіі, дзе размяшчалася грэцкая калёнія Кротоне.

Сёння нельга дакладна сцвярджаць, ці быў Піфагор ў Егіпце і Вавілон. Магчыма, ён пакінуў Самос пазней і накіраваўся адразу ў Кротоне.

піфагарэйцы

Гісторыя тэарэмы Піфагора звязаная з развіццём створанай грэцкім філосафам школы. Гэта рэлігійна-этычны братэрства прапаведавала захаванне асаблівага ладу жыцця, вывучала арыфметыку, геаметрыю і астраномію, займалася даследаваннем філасофскай і містычнай боку лікаў.

Усе адкрыцця вучняў грэцкага матэматыка прыпісваліся яму. Аднак гісторыя ўзнікнення тэарэмы Піфагора звязваецца старажытнымі біёграфамі толькі з самім філосафам. Мяркуецца, што ён перадаў грэкам веды, атрыманыя ў Вавілоне і Егіпце. Ёсць таксама версія, што ён сапраўды адкрыў тэарэму аб суадносінах катэт і гіпатэнузы, не ведаючы пра дасягненні іншых народаў.

Тэарэма Піфагора: гісторыя адкрыцця

У некаторых старажытнагрэцкіх крыніцах апісваецца радасць Піфагора, калі яму ўдалося даказаць тэарэму. У гонар такой падзеі ён загадаў прынесці ахвяру багам у выглядзе сотні быкоў і зладзіў гасьціну. Некаторыя навукоўцы, аднак, паказваюць на немагчымасць такога ўчынку з-за асаблівасцяў гледжанняў піфагарэйцаў.

Лічыцца, што ў трактаце "Пачаткі", створаным Еўкліда, аўтар прыводзіць доказ тэарэмы, аўтарам якога і быў вялікі грэцкі матэматык. Аднак падобны пункт гледжання падтрымлівалі не ўсе. Так, яшчэ антычны філосаф-неаплатонікаў Прокл паказваў, што аўтарам прыведзенага ў «Пачатках» доказы з'яўляецца сам Еўклід.

Як бы там ні было, але першым, хто сфармуляваў тэарэму, усё-такі быў ня Піфагор.

Старажытны Егіпет і Вавілон

Тэарэма Піфагора, гісторыя стварэння якой разглядаецца ў артыкуле, паводле нямецкага матэматыку Кантар, была вядомая яшчэ ў 2300 годзе да н. э. у Егіпце. Старажытныя жыхары даліны Ніла ў часы праўлення фараона Аменемхета I ведалі роўнасць 3 ² + 4 ^² = 5 ^². Мяркуецца, што з дапамогай трыкутнікаў з бакамі 3, 4 і 5 егіпецкія «натягиватели вяровак» выбудоўвалі прамыя куты.

Ведалі тэарэму Піфагора і ў Вавілоне. На гліняных таблічках, датаваных 2000 годам да н.э. і адносяцца да часу праўлення цара Хамурапі, знойдзены прыблізны разлік гіпатэнузы прамавугольнага трохвугольніка.

Індыя і Кітай

Гісторыя тэарэмы Піфагора звязана і са старажытнымі цывілізацыямі Індыі і Кітая. Трактат «Чжоу-бі Суань цзінь» змяшчае ўказанні, што егіпецкі трыкутнік (яго боку суадносяцца як 3: 4: 5) быў вядомы ў Кітаі яшчэ ў XII ст. да н. э., а да VI ст. да н. э. матэматыкі гэтай дзяржавы ведалі агульны выгляд тэарэмы.

Пабудова прамога кута пры дапамозе егіпецкага трыкутніка было выкладзена і ў індыйскім трактаце «Сульвэй сутра», датаваным VII-V стст. да н. э.

Такім чынам, гісторыя тэарэмы Піфагора да моманту нараджэння грэцкага матэматыка і філосафа налічвала ўжо некалькі сотняў гадоў.

доказ

За час свайго існавання тэарэма стала адной з асноватворных ў геаметрыі. Гісторыя доказы тэарэмы Піфагора, верагодна, пачалася з разгляду роўнабаковага прастакутнага трыкутніка. На яго гіпатэнузе і катэты будуюцца квадраты. Той, што «вырас» на гіпатэнузе, будзе складацца з чатырох трыкутнікаў, роўных першаму. Квадраты на катэты пры гэтым складаюцца з двух такіх трыкутнікаў. Простае графічная выява наглядна паказвае справядлівасць сцвярджэння, сфармуляванага ў выглядзе знакамітай тэарэмы.

Яшчэ адно простае доказ спалучае геаметрыю з алгебрай. Чатыры аднолькавых прамавугольных трохвугольніка з бакамі а, у, з вычэрчвае так, што ўтвараюць два квадрата: знешні са бокам (а + в) і ўнутраны са бокам с. Пры гэтым плошча меншага квадрата будзе роўная з ^2. Плошчу вялікага вылічаецца з сумы плошчаў маленькага квадрата і ўсіх трыкутнікаў (плошча прастакутнага трыкутніка, нагадаем, вылічаецца па формуле (а * в) / 2), гэта значыць з ² + 4 * ((а * в) / 2), што роўна з ² + 2ав. Плошчу вялікага квадрата можна вылічыць і інакш - як твор двух бакоў, то ёсць (а + в) ^2, што роўна а ² + 2ав + у ^2. атрымліваецца:

а ² + 2ав + у ² = з ² + 2ав,

а ² + у ² = з ^2.

Вядома мноства варыянтаў доказы гэтай тэарэмы. Над імі працаваў і Еўклід, і індыйскія навукоўцы, і Леанарда да Вінчы. Часта старажытныя мудрацы прыводзілі чарцяжы, прыклады якіх размешчаны вышэй, і не суправаджалі іх ніякімі тлумачэннямі, акрамя пазнакі «Глядзі!» Прастата геаметрычнага доказы пры ўмове наяўнасці некаторых ведаў каментароў і не патрабавала.

Гісторыя тэарэмы Піфагора, коратка выкладзеная ў артыкуле, развенчвае міф пра яе паходжанне. Аднак цяжка нават уявіць, што імя вялікага грэцкага матэматыка і філосафа калі-небудзь перастане асацыявацца з ёй.