Метад просты ітэрацыі для вырашэння сістэм лінейных раўнанняў (Слау)

Метад просты ітэрацыі, званы таксама метадам паслядоўнага набліжэння, - гэта матэматычны алгарытм знаходжання значэння невядомай велічыні шляхам паступовага яе ўдакладненні. Сутнасць гэтага метаду ў тым, што, як відаць з назвы, паступова выказваючы з пачатковага набліжэння наступныя, атрымліваюць усё больш удакладненыя вынікі. Гэты метад выкарыстоўваецца для пошуку значэння зменнай у зададзенай функцыі, а таксама пры вырашэнні сістэм ураўненняў, як лінейных, так і нелінейных.

Разгледзім, як дадзены метад рэалізуецца пры вырашэнні Слау. Метад просты ітэрацыі мае наступны алгарытм:

1. Праверка выканання ўмовы збежнасці ў зыходнай матрыцы. Тэарэма аб збежнасці: калі зыходная матрыца сістэмы мае дыяганальнае перавага (т.е, у кожнай радку элементы галоўнай дыяганалі павінны быць больш у модулю, чым сума элементаў пабочных дыяганаляў па модулю), то метад простых ітэрацый - збежны.

2. Матрыца зыходнай сістэмы не заўсёды мае дыяганальнае перавага. У такіх выпадках сістэму можна пераўтварыць. Ўраўненні, якія задавальняюць умове збежнасці, пакідаюць некранутымі, а з неудовлетворяющими складаюць лінейныя камбінацыі, г.зн. памнажаюць, адымаюць, складаюць ўраўненні паміж сабой да атрымання патрэбнага выніку.

Калі ў атрыманай сістэме на галоўнай дыяганалі знаходзяцца нязручныя каэфіцыенты, то да абедзвюх частак такога ўраўненні дадаюць складнікі выгляду з _i * x _i, знакі якіх павінны супадаць са знакамі дыяганальных элементаў.

3. Пераўтварэнне атрыманай сістэмы да нармальнага выгляду:

x ^- = β ^- + α * x ^-

Гэта можна зрабіць мноствам спосабаў, напрыклад, так: з першага раўнання выказаць х ₁ праз іншыя невядомыя, з другога-х _2, з третьего- х ₃ і г.д. Пры гэтым выкарыстоўваем формулы:

_α ij = - _(a ij / _{a ii)}

_i = b _i / _a ii
Варта зноў пераканацца, што атрыманая сістэма нармальнага выгляду адпавядае умове збежнасці:

Σ (j = 1) _| α ij | ≤ 1, пры гэтым i = 1,2, ... n

4. Пачынаем ўжываць, уласна, сам метад паслядоўных набліжэнняў.

x ⁽⁰⁾ - пачатковая набліжэнне, выкажам праз яго х ^(1), далей праз х ⁽¹⁾ выкажам х ^(2). Агульная формула а матрычных выглядзе выглядае так:

x ⁽ⁿ⁾ = β ^- + α * x ^(n-1)

Вылічаем, пакуль не дасягнем патрабаванай дакладнасці:

max | x _i (k) _-x i (k + 1) ≤ ε

Такім чынам, давайце разбярэм на практыцы метад просты ітэрацыі. прыклад:
Вырашыць Слау:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 з дакладнасцю ε = 10 ^-3

Паглядзім, пераважаюць Ці па модулю дыяганальныя элементы.

Мы бачым што умове збежнасці задавальняе толькі трэцяе раўнанне. Першае і другое преобразуем, да першага раўнанні дадамо другое:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

З трэцяга аднімем першае:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Мы пераўтварылі зыходную сістэму ў раўнацэнную:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Цяпер прывядзем сістэму да нармальнага выгляду:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Правяраем збежнасць ітэрацыйныя працэсу:

0.0789 + 0.3158 = 0,3947 ≤ 1
0.6429 + 0.2857 = 0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, г.зн. ўмова выконваецца.

0,3947
Пачатковае набліжэнне х ⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Падстаўляем дадзеныя значэння ў раўнанне нармальнага выгляду, атрымліваем наступныя значэнні:

0,08835
x ⁽¹⁾ = ^0,486793
0,446639

Падстаўляем новыя значэння, атрымліваем:

0,215243
x ⁽²⁾ = 0,405396
0,558336

Працягваем вылічэнні да таго моманту, пакуль не наблізімся да значэнняў, якія задавальняюць зададзеным умове.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0,441091

0,544319

0,188002

x ⁽⁸⁾ = 0,44164

0,544428

Праверым правільнасць атрыманых вынікаў:

4,5 * 0,1880 -1.7 * 0,441 + 3.5 * 0,544 = 2,0003
3.1 * 0,1880 + 2.3 * 0,441-1.1x * 0,544 = 0,9987
1.8 * 0,1880 + 2.5 * 0,441 + 4.7 * 0,544 = 3,9977

Вынікі, атрыманыя пры падстаноўцы знойдзеных значэнняў у зыходныя ўраўненні, цалкам задавальняюць умовам ўраўненні.

Як мы бачым, метад просты ітэрацыі дае даволі дакладныя вынікі, аднак для вырашэння гэтага ўраўненні нам прыйшлося выдаткаваць шмат часу і прарабіць грувасткія вылічэнні.