Геаметрычная прагрэсія і яе ўласцівасці

Геаметрычная прагрэсія мае важнае значэнне ў матэматыцы як навуцы, так і ў прыкладным значэнні, паколькі мае надзвычай шырокую сферу прымянення, нават у вышэйшай матэматыцы, скажам, у тэорыі шэрагаў. Першыя звесткі аб прагрэсе дайшлі да нас з Старажытнага Егіпта, у прыватнасці, у выглядзе вядомай задачы з папірусу Райнда пра сем асобах, якія маюць па сем котак. Варыяцыі гэтай задачы шматкроць паўтараліся ў розныя часы ў іншых народаў. Нават вялікі Леанарда Пізанская, больш вядомы як Фібаначы (XIII ст.), Звярнуўся да яе ў сваёй "Кнізе аб абак».

Так што, геаметрычная прагрэсія мае старажытную гісторыю. Яна ўяўляе сабой лікавую паслядоўнасць з адрозным ад нуля першым членам, а кожны наступны, пачынаючы з другога, вызначаецца па рэкурэнтнай формуле памнажэннем папярэдняга на пастаяннае, адрозны ад нуля лік, якое называецца назоўнікам прагрэсіі (яго звычайна пазначаюць, выкарыстоўваючы літару q).
Відавочна, што яго можна знайсці дзяленнем кожнага наступнага члена паслядоўнасці на папярэдні, то ёсць z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Такім чынам, для задання самай прагрэсіі (zn) досыць, каб было вядома значэнне яе першага члена y 1 і назоўніка q.

Напрыклад, дапусцім z 1 = 7, q = - 4 (q <0), тады атрымліваецца наступная геаметрычная прагрэсія 7, - 28, 112, - 448, .... Як бачым, атрыманая паслядоўнасць ня манатонная.

Успомнім, што адвольная паслядоўнасць манатонная (нарастальная / змяншальнай), калі кожны з яе наступных членаў больш / менш, чым папярэдні. Напрыклад, паслядоўнасці 2, 5, 9, ... і -10, -100, -1000, ... - манатонныя, прычым другая з іх - гэта змяншальнай геаметрычная прагрэсія.

У выпадку, калі q = 1, у прагрэсіі ўсе члены атрымліваюцца роўнымі і яе называюць сталай.

Для таго каб паслядоўнасць была прагрэсіяй гэтага тыпу, яна павінна задавальняць наступнага неабходнаму і дастатковаму умове, а менавіта: пачынаючы з другога, кожны з яе членаў павінен зьяўляцца сярэднім геаметрычным суседніх з ім членаў.

Гэта ўласцівасць дазваляе пры вядомых двух побач стаячых знаходзіць адвольны член прагрэсіі.

n-ы член геаметрычнай прагрэсіі лёгка знайсці па формуле: zn = z 1 * q ^ (n-1), ведаючы першы член z 1 і назоўнік q.

Паколькі лічбавая паслядоўнасць мае суму, то некалькі простых выкладак дадуць нам формулу, якая дазваляе вылічыць суму першых членаў прагрэсіі, а менавіта:

S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

Замяніўшы ў формуле значэнне zn яго выразам z 1 * q ^ (n-1), атрымліваюць другую формулу сумы дадзенай прагрэсіі: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Варты ўвагі наступны цікавы факт: гліняная таблічка, знойдзены пры раскопках Старажытнага Вавілона, якая адносіцца да VI ст. да нашай эры, выдатным чынам ўтрымлівае суму 1 + 2 + 22 + ... + 29, роўную 2 у дзясятай ступені мінус 1. Разгадка гэтага феномену пакуль не знойдзена.

Адзначым яшчэ адно з уласцівасцяў геаметрычнай прагрэсіі - пастаяннае твор яе членаў, якія адстаяць на роўнай адлегласці ад канцоў паслядоўнасці.

Асаблівую важнасць з навуковага пункту гледжання ўяўляе такое паняцце, як бясконцая геаметрычная прагрэсія і вылічэнне яе сумы. Калі выказаць здагадку, што (yn) - геаметрычная прагрэсія, якая мае назоўнік q, які задавальняе умове | q | <1, то яе сумай будзе называцца мяжа, да якога імкнецца вядомая ўжо нам сума яе першых членаў, пры неабмежаванай узрастанні n, гэта значыць пры яго набліжэнні да бясконцасці.

Знаходзяць гэтую суму ў выніку пры дапамозе формулы:

S n = y 1 / (1- q).

І, як паказала практыка, за бачнай прастатой гэтай прагрэсіі скрыты велізарны прыкладной патэнцыял. Да прыкладу, калі пабудаваць паслядоўнасць квадратаў па наступным алгарытме, злучаючы сярэдзіны бакоў папярэдняга, то іх плошчы ўтвараюць бясконцую геаметрычную прагрэсіі, якая мае назоўнік 1/2. Такую ж прагрэсіі ўтвараюць і плошчы трыкутнікаў, якія атрымліваюцца на кожным этапе пабудовы, прычым яе сума роўная плошчы першапачатковага квадрата.