Бесперапынная функцыя

Бесперапынная функцыя ўяўляе сабой функцыю без «скокаў», гэта значыць такую, для якой выконваецца ўмова: малым зменам аргументу ідуць малыя змены адпаведных значэнняў функцыі. Графік падобнай функцыі ўяўляе з сябе плаўную або бесперапынную крывую.

Бесперапыннасць ў пункце, лімітавай для некаторага мноства, можна вызначыць з дапамогай паняцця мяжы, а менавіта: функцыя павінна мець у гэтай кропцы мяжа, які роўны яе значэнні ў лімітавай кропцы.

Пры парушэнні гэтых умоў у некаторай кропцы, кажуць, што функцыя ў дадзенай кропцы трывае разрыў, гэта значыць яе бесперапыннасць парушаецца. На мове межаў кропку разрыву можна апісаць як несупадзенне значэння функцыі ў разрыўной кропцы з мяжой функцыі (калі ён існуе).

Кропка разрыву можа быць адхільнай, для гэтага неабходна існаванне мяжы функцыі, але несупадаючымі з яго значэннем у зададзенай кропцы. У гэтым выпадку яе ў гэтай кропцы можна «паправіць», гэта значыць давызначаныя да бесперапыннасці.
Зусім іншая карціна складваецца, калі мяжы функцыі ў зададзенай кропцы не існуе. Магчыма два варыянты кропак разрыву:

• першага роду - маюцца і канчатковыя абодва з аднабаковых межаў, і значэнне аднаго з іх або абодвух не супадаюць са значэннем функцыі ў зададзенай кропцы;
• другога роду, калі не існуе адзін або абодва з аднабаковых межаў або іх значэння бясконцыя.

Ўласцівасці бесперапынных функцый

• Функцыя, атрыманая ў вынік арыфметычных дзеянняў, а таксама суперпазіцыі бесперапынных функцый на іх вобласці вызначэння таксама з'яўляецца бесперапыннай.
• Калі дадзена бесперапынная функцыя, якая дадатная ў некаторай кропцы, то заўсёды можна знайсці дастаткова малую яе навакольле, на якой яна захавае свой знак.
• Аналагічна, калі яе значэння ў двух кропках A і B роўныя, адпаведна, a і b, прычым a выдатна ад b, то для прамежкавых кропак яна прыме ўсе значэння з прамежку (a; b). Адсюль можна зрабіць цікавае заключэнне: калі даць расцягнутай гумцы сціснуцца так, каб яна не правісала (заставалася прамалінейнай), то адна з яе кропак застанецца нерухомай. А па-геаметрычнаму гэта азначае, што існуе прамая, якая праходзіць праз любую прамежкавую кропку паміж A і B, якая перасякае графік функцыі.

Адзначым некаторыя з бесперапынных (на вобласці іх азначэнні) элементарных функцый:

• пастаянная;
• рацыянальная;
• трыганаметрычныя.

Паміж двума фундаментальнымі паняццямі ў матэматыцы - бесперапыннасцю і дыферэнцыруемых - існуе непарыўная сувязь. Дастаткова толькі ўзгадаць, што для духавых станаў неабходна, каб гэта была бесперапынная функцыя.

Калі ж функцыя ў некаторай кропцы дыферэнцыруемых, то там яна бесперапынная. Аднак зусім не абавязкова, каб і яе вытворная была бесперапыннай.

Функцыя, якая мае на некаторай мностве бесперапынную вытворную, належыць асобнаму класу гладкіх функцый. Інакш кажучы, гэта - бесперапынна духавых станаў. Калі ж вытворная мае абмежаваную колькасць кропак разрыву (толькі першага роду), то падобную функцыю называюць кавалкава гладкай.

Яшчэ адным важным паняццем матэматычнага аналізу з'яўляецца раўнамерная непарыўнасць функцыі, гэта значыць яе здольнасць быць у любой кропцы сваёй галіне вызначэння аднолькава бесперапыннай. Такім чынам, гэта ўласцівасць, якое разглядаецца на мностве кропак, а не ў якой-небудзь асобна ўзятай.

Калі ж зафіксаваць кропку, то атрымаецца не што іншае, як вызначэнне бесперапыннасці, то ёсць з наяўнасці раўнамернай непарыўнасці выцякае, што перад намі бесперапынная функцыя. Наогул кажучы, адваротнае зацвярджэнне няправільна. Аднак згодна тэарэме Кантара, калі функцыя бесперапынная на кампакце, гэта значыць на замкнёнай прамежку, то яна на ім раўнамерна бесперапынная.