Ірацыянальныя лікі: што гэта такое і для чаго яны выкарыстоўваюцца?

Што такое ірацыянальныя ліку? Чаму яны так называюцца? Дзе яны выкарыстоўваюцца і што сабой уяўляюць? Нешматлікія могуць без роздумаў адказаць на гэтыя пытанні. Але на самой справе адказы на іх даволі простыя, хоць патрэбныя не ўсім і ў вельмі рэдкіх сітуацыях

Сутнасць і абазначэнне

Ірацыянальныя колькасці ўяўляюць сабой бясконцыя неперыядычныя дзесятковыя дробы. Неабходнасць увядзення гэтай канцэпцыі абумоўлена тым, што для вырашэння новых ўзнікаюць задач ўжо было недастаткова раней наяўных паняццяў сапраўдных ці рэчыўных, цэлых, натуральных і рацыянальных лікаў. Напрыклад, для таго, каб вылічыць, квадратам якой велічыні з'яўляецца 2, неабходна выкарыстоўваць неперыядычныя бясконцыя дзесятковыя дробы. Акрамя таго, многія найпростыя ўраўненні таксама не маюць рашэнні без ўвядзення канцэпцыі ірацыянальнага ліку.

Гэта мноства абазначаецца як I. І, як ужо ясна, гэтыя значэнні не могуць быць прадстаўлены ў выглядзе простай дробу, у лічніку якой будзе цэлае, а ў назоўніку - натуральны лік.

Упершыню так ці інакш з гэтай з'явай сутыкнуліся індыйскія матэматыкі ў VII стагоддзі да нашай эры, калі было выяўлена, што квадратныя карані з некаторых велічынь не могуць быць пазначаныя відавочна. А першы доказ існавання падобных лікаў прыпісваюць піфагарэйцамі Гиппасу, які зрабіў гэта ў працэсе вывучэння роўнабаковага прастакутнага трыкутніка. Сур'ёзны ўклад у вывучэнне гэтага мноства прыўнеслі яшчэ некаторыя навукоўцы, якія жылі да нашай эры. Ўвядзенне канцэпцыі ірацыянальных лікаў пацягнула за сабой перагляд якая існавала матэматычнай сістэмы, вось чаму яны так важныя.

паходжанне назвы

Калі ratio у перакладзе з латыні - гэта "дроб", "стаўленне", то прыстаўка "ір"
надае гэтаму слову супрацьлеглае значэнне. Такім чынам, назва мноства гэтых лікаў кажа пра тое, што яны не могуць быць суаднесены з цэлым або дробавым, маюць асобнае месца. Гэта і выцякае з іх сутнасці.

Месца ў агульнай класіфікацыі

Ірацыянальныя колькасці нароўні з рацыянальнымі ставіцца да групы рэчыўных або сапраўдных, якія ў сваю чаргу ставяцца да комплексным. Падмноства няма, аднак адрозніваюць алгебраічную і трансцэндэнтную разнавіднасць, пра якія гаворка пойдзе ніжэй.

ўласцівасці

Паколькі ірацыянальныя лікі - гэта частка мноства сапраўдных, то да іх дастасавальныя ўсе іх ўласцівасці, якія вывучаюцца ў арыфметыцы (іх таксама называюць асноўнымі алгебраічнымі законамі).

a + b = b + a (коммутативность);

(A + b) + c = a + (b + c) (асацыятыўнасць);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (існаванне супрацьлеглага колькасці);

ab = ba (Перамяшчальная закон);

(Ab) c = a (bc) (дыстрыбутыўнага);

a (b + c) = ab + ac (размеркавальны закон);

ax 1 = a

ax 1 / a = 1 (існаванне зваротнага ліку);

Параўнанне таксама праводзіцца ў адпаведнасці з агульнымі заканамернасцямі і прынцыпамі:

Калі a> b і b> c, то a> c (транзітыўнасць суадносін) і. т. д.

Зразумела, усе ірацыянальныя лікі могуць быць ператвораныя з дапамогай асноўных арыфметычных дзеянняў. Ніякіх асаблівых правілаў пры гэтым няма.

Акрамя таго, на ірацыянальныя колькасці распаўсюджваецца дзеянне аксіёмы Архімеда. Яна абвяшчае, што для любых двух велічынь a і b справядліва сцвярджэнне, што, узяўшы a ў якасці складаемага дастатковую колькасць разоў, можна перасягнуць b.

выкарыстанне

Нягледзячы на тое што ў звычайным жыцці не так ужо часта даводзіцца сутыкацца з імі, ірацыянальныя лікі не паддаюцца рахунку. Іх велізарнае мноства, але яны практычна відаць. Нас паўсюль атачаюць ірацыянальныя ліку. Прыклады, знаёмыя ўсім, - гэта лік пі, роўнае 3,1415926 ..., або e, па сутнасці з'яўляецца падставай натуральнага лагарыфма, 2,718281828 ... У алгебры, трыганаметрыі і геаметрыі выкарыстоўваць іх даводзіцца ўвесь час. Дарэчы, знакамітае значэнне "залатога сячэння", гэта значыць стаўленне як большай часткі да меншай, так і наадварот, таксама ставіцца да гэтага мностве. Менш вядомае "срэбнае" - таксама.

На лікавай прамой яны размешчаны вельмі шчыльна, так што паміж любымі двума велічынямі, аднесенымі да мноства рацыянальных, абавязкова сустракаецца ірацыянальная.

Да гэтага часу існуе маса нявырашаных праблем, звязаных з гэтым мноствам. Існуюць такія крытэрыі, як мера ірацыянальнасці і нармалёвасць колькасці. Матэматыкі працягваюць даследаваць найбольш значныя прыклады на прадмет прыналежнасці іх да той ці іншай групе. Напрыклад, лічыцца, што е - звычайны лік, т. Е. Верагоднасць з'яўлення ў яго запісу розных лічбаў аднолькавая. Што ж тычыцца пі, то адносна яго пакуль вядуцца даследаванні. Мерай ірацыянальнасці жа завуць велічыню, якая паказвае, наколькі добра тое ці іншае лік можа быць набліжана рацыянальнымі лікамі.

Алгебраічныя і трансцэндэнтныя

Як ужо было згадана, ірацыянальныя колькасці ўмоўна падзяляюцца на Алгебраічныя і трансцэндэнтныя. Ўмоўна, паколькі, строга кажучы, гэта класіфікацыя выкарыстоўваецца для дзялення мноства C.

Пад гэтым абазначэннем хаваюцца комплексныя чысла, якія ўключаюць у сябе сапраўдныя ці рэчавыя.

Такім чынам, алгебраічным называюць такое значэнне, якое з'яўляецца коранем мнагачлена, ня роўнага тоесна нулю. Напрыклад, квадратны корань з 2 будзе ставіцца да гэтай катэгорыі, паколькі ён з'яўляецца рашэннем раўнання x ² - 2 = 0.

Усе ж астатнія рэчавыя колькасці, не задавальняюць гэтай умове, называюцца трансцэндэнтнымі. Да гэтай разнавіднасці адносяцца і найбольш вядомыя і ўжо згаданыя прыклады - лік пі і падстава натуральнага лагарыфма e.

Што цікава, ні адно, ні другое не былi першапачаткова выведзеныя матэматыкамі ў гэтай якасці, іх ірацыянальнасць і трансцэндэнтнасць былі даказаны праз шмат гадоў пасля іх адкрыцця. Для пі доказ было прыведзена ў 1882 годзе і спрошчана ў 1894, што паклала канец спрэчках аб праблеме квадратуры круга, якія доўжыліся на працягу 2,5 тысячы гадоў. Яно да гэтага часу да канца не вывучана, так што сучасным матэматыкам ёсць над чым працаваць. Дарэчы, першае дастаткова дакладнае вылічэнне гэтага значэння правёў Архімед. Да яго ўсе разлікі былі занадта прыблізнымі.

Для е (лікі Эйлера або Непер), доказ яго трансцэндэнтнасці было знойдзена ў 1873 годзе. Яно выкарыстоўваецца ў вырашэнні лагарыфмічных ураўненняў.

Сярод іншых прыкладаў - значэння сінуса, косінуса і тангенса для любых алгебраічных ненулявое значэнне.