АдукацыяКаледжы і універсітэты

Тэорыя верагоднасці. Верагоднасць падзеі, выпадковыя падзеі (тэорыя верагоднасці). Незалежныя і несумесныя падзеі ў тэорыі верагоднасці

Наўрад ці многія людзі задумваюцца, ці можна пралічыць падзеі, якія ў той ці іншай меры выпадковыя. Выяўляючыся простымі словамі, ці рэальна даведацца, якая бок кубіка у ігральных касцях выпадзе ў наступны раз. Менавіта гэтым пытаннем задаліся два вялікіх навукоўцаў, якія паклалі пачатак такой навуцы, як тэорыя верагоднасці, верагоднасць падзеі ў якой вывучаецца досыць шырока.

зараджэнне

Калі паспрабаваць даць вызначэнне такому паняццю, як тэорыя верагоднасці, то атрымаецца наступнае: гэта адзін з раздзелаў матэматыкі, які займаецца вывучэннем сталасці выпадковых падзей. Ясная справа, дадзенае паняцце толкам не раскрывае ўсю сутнасць, таму неабходна разгледзець яе больш дэталёва.

Хацелася б пачаць з стваральнікаў тэорыі. Як было вышэй згадана, іх было двое, гэта П'ер Ферма і Блез Паскаль. Менавіта яны адны з першых паспрабавалі з выкарыстаннем формул і матэматычных вылічэнняў пралічыць зыход той ці іншай падзеі. У цэлым жа зародкі гэтай навукі выяўляліся яшчэ ў сярэднявеччы. У той час розныя мысляры і навукоўцы спрабавалі прааналізаваць азартныя гульні, такія як рулетка, косці і гэтак далей, тым самым ўсталяваць заканамернасць і адсоткавыя суадносіны выпадзення таго ці іншага ліку. Падмурак жа быў закладзены ў семнаццатым стагоддзі менавіта вышэйзгаданымі навукоўцамі.

Спачатку іх працы нельга было аднесці да вялікіх дасягненняў у гэтай галіне, бо ўсё, што яны зрабілі, гэта былі папросту эмпірычныя факты, а досведы ставіліся наглядна, без выкарыстання формул. З часам атрымалася дамагчыся вялікіх вынікаў, якія з'явіліся з прычыны назірання за кіданне костак. Менавіта гэты інструмент дапамог вывесці першыя выразныя формулы.

аднадумцы

Нельга не згадаць пра такога чалавека, як Хрысціян Гюйгенс, у працэсе вывучэння тэмы, якая носіць назву "тэорыя верагоднасці" (верагоднасць падзеі асвятляецца менавіта ў гэтай навуцы). Дадзеная персона вельмі цікавая. Ён, гэтак жа як і прадстаўленыя вышэй навукоўцы, спрабаваў у выглядзе матэматычных формул вывесці заканамернасць выпадковых падзей. Характэрна, што рабіў ён гэта не сумесна з Паскалем і Ферма, то ёсць ўсе яго працы ніяк не перасякаліся з гэтымі розумамі. Гюйгенс вывеў асноўныя паняцці тэорыі верагоднасці.

Цікавы той факт, што яго праца выйшла задоўга да вынікаў прац першаадкрывальнікаў, а дакладней, на дваццаць гадоў раней. Сярод пазначаных паняццяў больш вядомае за ўсё сталі:

  • паняцце верагоднасці як велічыні шанцу;
  • матэматычнае чаканне для дыскрэтных выпадкаў;
  • тэарэмы множання і складання верагоднасцяў.

Таксама нельга не ўспомніць Якаба Бярнулі, які таксама ўнёс важкі ўклад у вывучэнні праблемы. Праводзячы свае, ні ад каго не залежныя выпрабаванні, ён здолеў прадставіць доказ закона вялікіх лікаў. У сваю чаргу, навукоўцы Пуасона і Лаплас, якія працавалі ў пачатку дзевятнаццатага стагоддзя, змаглі даказаць першапачатковыя тэарэмы. Менавіта з гэтага моманту для аналізу памылак у ходзе назіранняў пачалі выкарыстоўваць тэорыю верагоднасцяў. Бокам абысці дадзеную навуку не змаглі і рускія навукоўцы, а дакладней Маркаў, Чебышев і Дяпунов. Яны, зыходзячы з праведзенай работы вялікіх геніяў, замацавалі дадзены прадмет у якасці раздзела матэматыкі. Працавалі гэтыя дзеячы ўжо ў канцы дзевятнаццатага стагоддзя, і дзякуючы іх ўкладу, былі даказаны такія з'явы, як:

  • закон вялікіх лікаў;
  • тэорыя ланцугоў Маркава;
  • цэнтральная лімітавая тэарэма.

Такім чынам, з гісторыяй зараджэння навукі і з асноўнымі персонамі, якія паўплывалі на яе, усё больш-менш зразумела. Зараз жа прыйшоў час канкрэтызаваць ўсе факты.

асноўныя паняцці

Перад тым як дакранацца законаў і тэарэм, варта вывучыць асноўныя паняцці тэорыі верагоднасцяў. Падзея ў ёй займае галоўную ролю. Дадзеная тэма даволі аб'ёмная, але без яе не атрымаецца разабрацца ва ўсім астатнім.

Падзея ў тэорыі верагоднасці - гэта любая сукупнасць зыходаў праведзенага вопыту. Паняццяў дадзенага з'явы існуе не так мала. Так, навуковец Лотман, які працуе ў гэтай галіне, выказаўся, што ў дадзеным выпадку гаворка ідзе пра тое, што «адбылося, хоць магло і не адбыцца».

Выпадковыя падзеі (тэорыя верагоднасці надае ім асаблівую ўвагу) - гэта паняцце, якое мае на ўвазе абсалютна любая з'ява, якое мае магчымасць адбыцца. Ці ж, наадварот, гэты сцэнар можа не здарыцца пры выкананні мноства умоў. Таксама варта ведаць, што захопліваюць ўвесь аб'ём адбыліся з'яў менавіта выпадковыя падзеі. Тэорыя верагоднасці паказвае на тое, што ўсе ўмовы могуць паўтарацца пастаянна. Менавіта іх правядзенне атрымала назву "досвед" ці "выпрабаванне".

Пэўнае падзея - гэта тое з'ява, якое ў дадзеным выпрабаванні на сто адсоткаў адбудзецца. Адпаведна, немагчымае падзея - гэта тое, якое не здарыцца.

Сумяшчэнне пары дзеянняў (умоўна выпадак A і выпадак B) ёсць з'ява, якое адбываецца адначасова. Яны пазначаюцца як AB.

Сума пар падзей А і В - гэта З, іншымі словамі, калі хаця б адзін зь іх адбудзецца (А ці У), то атрымаецца С. Формула апісванага з'явы запісваецца так: З = А + В.

Несумесныя падзеі ў тэорыі верагоднасці маюць на ўвазе, што два выпадкі ўзаемна выключаюць адзін аднаго. Адначасова яны ні ў якім разе не могуць адбыцца. Сумесныя падзеі ў тэорыі верагоднасці - гэта іх антыпод. Тут маецца на ўвазе, што калі адбылося А, то яно ніяк не перашкаджае В.

Супрацьлеглыя падзеі (тэорыя верагоднасці разглядае іх вельмі падрабязна) простыя для разумення. Лепш за ўсё разабрацца з імі ў параўнанні. Яны амаль такія ж, як і несумесныя падзеі ў тэорыі верагоднасці. Але іх адрозненне заключаецца ў тым, што адно з мноства з'яў у любым выпадку павінна адбыцца.

Равновозможные падзеі - гэта тыя дзеянні, магчымасць паўтору якіх роўная. Каб было больш зразумела, можна ўявіць кіданне манеты: выпадзенне адной з яе бакоў роўнаверагодных выпадзення іншы.

Якое спрыяе падзея лягчэй разгледзець на прыкладзе. Дапусцім, ёсць эпізод В і эпізод А. Першае - гэта кідок ігральнага кубіка са з'яўленнем няцотнай колькасцi, а другое - з'яўленне колькасці пяць на кубіку. Тады атрымліваецца, што А спрыяе В.

Незалежныя падзеі ў тэорыі верагоднасці праецыююцца толькі на два і больш выпадкаў і маюць на ўвазе незалежнасць якога-небудзь дзеянні ад іншага. Напрыклад, А - выпадзенне рэшка пры кіданні манеты, а В - даставанне валета з калоды. Яны і ёсць незалежныя падзеі ў тэорыі верагоднасці. З гэтым момантам стала больш зразумела.

Залежныя падзеі ў тэорыі верагоднасці таксама дапушчальныя толькі для іх мноства. Яны маюць на ўвазе залежнасць аднаго ад другога, гэта значыць з'ява У можа адбыцца толькі ў тым выпадку, калі А ўжо адбылося ці ж, наадварот, не адбылося, калі гэта - галоўная ўмова для В.

Зыход выпадковага эксперыменту, які складаецца з аднаго кампанента, - гэта элементарныя падзеі. Тэорыя верагоднасці тлумачыць, што гэта такая з'ява, якое адбылася толькі аднойчы.

асноўныя формулы

Такім чынам, вышэй былі разгледжаны паняцці "падзея", "тэорыя верагоднасці", вызначэнне асноўных тэрмінаў гэтай навукі таксама было дадзена. Зараз жа прыйшоў час азнаёміцца непасрэдна з важнымі формуламі. Гэтыя выразы матэматычна пацвярджаюць усе галоўныя паняцці ў такой няпростай прадмеце, як тэорыя верагоднасці. Верагоднасць падзеі і тут адыгрывае вялікую ролю.

Пачаць лепш з асноўных формул камбінаторыкі. І перад тым як прыступіць да іх, варта разгледзець, што гэта такое.

Камбінаторыка - гэта ў першую чаргу раздзел матэматыкі, ён займаецца вывучэннем велізарнай колькасці цэлых лікаў, а таксама розных перастановак як саміх лікаў, так і іх элементаў, розных дадзеных і т. П., Якія вядуць да з'яўлення шэрагу камбінацый. Акрамя тэорыі верагоднасці, гэтая галіна важная для статыстыкі, камп'ютэрнай навукі і крыптаграфіі.

Такім чынам, цяпер можна пераходзіць да прадстаўленні саміх формул і іх азначэнні.

Першай з іх будзе выраз для ліку перастановак, выглядае яно наступным чынам:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Ўжываецца раўнанне толькі ў тым выпадку, калі элементы адрозніваюцца толькі парадкам размяшчэння.

Цяпер будзе разгледжана формула размяшчэння, выглядае яна так:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Гэты выраз дастасавальна ўжо не толькі да парадку размяшчэння элемента, але і да яго складу.

Трэцяе раўнанне з камбінаторыкі, і яно ж апошняе, называецца формулай для ліку спалучэнняў:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Спалучэннем называюцца выбаркі, якія ня ўпарадкаваны, адпаведна, да іх і прымяняецца дадзенае правіла.

З формуламі камбінаторыкі атрымалася разабрацца без працы, зараз можна перайсці да класічнага вызначэнню верагоднасцяў. Выглядае гэты выраз наступным чынам:

P (A) = m: n.

У дадзенай формуле m - гэта лік умоў, спрыяльных падзеі A, а n - колькасць абсалютна ўсіх равновозможных і элементарных зыходаў.

Існуе вялікая колькасць выразаў, у артыкуле не будуць разгледжаны ўсе, але закрануты будуць самыя важныя з іх такія, як, напрыклад, верагоднасць сумы падзей:

P (A + B) = P (A) + P (B) - гэтая тэарэма для складання толькі несумеснымі падзей;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - а гэтая для складання толькі сумяшчальных.

Верагоднасць творы падзей:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - гэтая тэарэма для незалежных падзей;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B|A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A|B)) - а гэтая для залежных.

Закончыць спіс формула падзей. Тэорыя верагоднасцяў распавядае нам пра тэарэме Байеса, якая выглядае так:

P (H_m|A) = (P (H_m) P (A|H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A|H_k)), m = 1, ..., n

У дадзенай формуле H 1, H 2, ..., H n - гэта поўная група гіпотэз.

На гэтым спынімся, далей будуць разгледжаны ўзоры прымянення формул для вырашэння канкрэтных задач з практыкі.

прыклады

Калі старанна вывучыць любы падзел матэматыкі, у ім не абыходзіцца без практыкаванняў і узораў рашэнняў. Так і тэорыя верагоднасці: падзеі, прыклады тут з'яўляюцца неад'емным кампанентам, якія пацвярджаюць навуковыя выкладкі.

Формула для ліку перастановак

Дапусцім, у картачнай калодзе ёсць трыццаць карт, пачынаючы з наміналу адзін. Далей пытанне. Колькі ёсць спосабаў скласці калоду так, каб карты з наміналам адзін і два не былі размешчаны побач?

Задача пастаўлена, зараз давайце пяройдзем да яе рашэння. Для пачатку трэба вызначыць лік перастановак з трыццаці элементаў, для гэтага бярэм прадстаўленую вышэй формулу, атрымліваецца P_30 = 30 !.

Зыходзячы з гэтага правіла, мы даведаемся, колькі ёсць варыянтаў скласці калоду па-рознаму, але нам неабходна адняць з іх тыя, у якіх першая і другая карта будуць побач. Для гэтага пачнем з варыянту, калі першая знаходзіцца над другой. Атрымліваецца, што першая карта можа заняць дваццаць дзевяць месцаў - з першага па дваццаць дзевяты, а другая карта з другога па трыццатае, атрымліваецца ўсяго дваццаць дзевяць месцаў для пары карт. У сваю чаргу, астатнія могуць прымаць дваццаць восем месцаў, прычым у адвольным парадку. Гэта значыць для перастаноўкі дваццаці васьмі карт ёсць дваццаць восем варыянтаў P_28 = 28!

У выніку атрымліваецца, што калі разглядаць рашэнне, калі першая карта знаходзіцца над другой, лішніх магчымасцяў атрымаецца 29 ⋅ 28! = 29!

Выкарыстоўваючы гэты ж метад, трэба вылічыць лік залішніх варыянтаў для таго выпадку, калі першая карта знаходзіцца пад другі. Атрымліваецца таксама 29 ⋅ 28! = 29!

З гэтага вынікае, што лішніх варыянтаў 2 ⋅ 29 !, у той час як неабходных спосабаў збору калоды 30! - 2 ⋅ 29 !. Застаецца толькі толькі палічыць.

30! = 29! ⋅ 30; 30! - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Зараз трэба перамнажаць паміж сабой усе лікі ад аднаго да дваццаці дзевяці, пасля чаго ў канцы памножыць усё на 28. Адказ атрымліваецца 2,4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32

Рашэнне прыкладу. Формула для ліку размяшчэння

У дадзенай задачы неабходна высветліць, колькі ёсць спосабаў, каб паставіць пятнаццаць тамоў на адной паліцы, але пры ўмове, што ўсяго тамоў трыццаць.

У гэтай задачы рашэнне крыху прасцей, чым у папярэдняй. Выкарыстоўваючы ўжо вядомую формулу, неабходна вылічыць сумарная колькасць размяшчэнняў з трыццаці тамоў па пятнаццаць.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Адказ, адпаведна, будзе роўны 202 843 204 931 727 360 000.

Цяпер возьмем задачу ледзь складаней. Неабходна даведацца, колькі ёсць спосабаў расставіць трыццаць кніг на двух кніжных паліцах, пры ўмове, што на адной паліцы могуць знаходзіцца толькі пятнаццаць тамоў.

Перад пачаткам рашэння хацелася б удакладніць, што некаторыя задачы вырашаюцца некалькімі шляхамі, так і ў гэтай ёсць два спосабу, але ў абодвух ўжытая адна і тая ж формула.

У гэтай задачы можна ўзяць адказ з папярэдняй, бо там мы вылічылі, колькі разоў можна запоўніць паліцу на пятнаццаць кніг па-рознаму. Атрымалася A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Другую ж паліцу разлічым па формуле перастаноўкі, бо ў яе змяшчаецца пятнаццаць кніг, у той час як усяго застаецца пятнаццаць. Выкарыстоўваем формулу P_15 = 15 !.

Атрымліваецца, што ў суме будзе A_30 ^ 15 ⋅ P_15 спосабаў, але, акрамя гэтага, твор ўсіх лікаў ад трыццаці да шаснаццаці трэба будзе памножыць на твор лікаў ад аднаго да пятнаццаці, у выніку атрымаецца твор усіх лікаў ад аднаго да трыццаці, то ёсць адказ роўны 30!

Але гэтую задачу можна вырашыць і па-іншаму - прасцей. Для гэтага можна ўявіць, што ёсць адна палка на трыццаць кніг. Усе яны расстаўлены на гэтай плоскасці, але так як ўмова патрабуе, каб паліц было дзве, то мы адну доўгую пілуем напалову, атрымліваецца дзве па пятнаццаць. З гэтага атрымліваецца што варыянтаў расстаноўкі можа быць P_30 = 30 !.

Рашэнне прыкладу. Формула для ліку спалучэння

Зараз будзе разгледжаны варыянт трэцяй задачы з камбінаторыкі. Неабходна даведацца, колькі спосабаў ёсць, каб расставіць пятнаццаць кніг пры ўмове, што выбіраць неабходна з трыццаці абсалютна аднолькавых.

Для вырашэння будзе, вядома ж, прымененая формула для ліку спалучэнняў. З умовы становіцца зразумелым, што парадак аднолькавых пятнаццаці кніг не важны. Таму першапачаткова трэба высветліць агульная колькасць спалучэнняў з трыццаці кніг па пятнаццаць.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155 117 520

Вось і ўсё. Выкарыстоўваючы дадзеную формулу, у самы кароткі час удалося вырашыць такую задачу, адказ, адпаведна, роўны 155 117 520.

Рашэнне прыкладу. Класічнае вызначэнне верагоднасці

З дапамогай формулы, названай вышэй, можна знайсці адказ у нескладанай задачы. Але гэта дапаможа наглядна ўбачыць і прасачыць ход дзеянняў.

У задачы дадзена, што ў урне ёсць дзесяць абсалютна аднолькавых шарыкаў. З іх чатыры жоўтых і шэсць сініх. Са скрыні бярэцца адзін шарык. Неабходна даведацца верагоднасць даставання сіняга.

Для вырашэння задачы неабходна пазначыць даставанне сіняга шарыка падзеяй А. Дадзены вопыт можа мець дзесяць зыходаў, якія, у сваю чаргу, элементарныя і равновозможные. У той жа час з дзесяці шэсць з'яўляюцца якія спрыяюць падзеі А. Вырашаем па формуле:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Ужыўшы гэтую формулу, мы даведаліся, што магчымасць даставання сіняга шарыка роўная 0,6.

Рашэнне прыкладу. Верагоднасць сумы падзей

Цяпер будзе прадстаўлены варыянт, які вырашаецца з выкарыстаннем формулы верагоднасці сумы падзей. Дык вось, ва ўмове дадзена, што ёсць дзве скрыні, у першым знаходзіцца адзін шэры і пяць белых шарыкаў, а ў другім - восем шэрых і чатыры белых шара. У выніку з першага і другога палукашка ўзялі па адным з іх. Неабходна пазнаць, які шанец таго, што даставайце шарыкі будуць шэрага і белага колеру.

Каб вырашыць дадзеную задачу, неабходна пазначыць падзеі.

  • Такім чынам, А - узялі шэры шарык з першага скрыні: P (A) = 1/6.
  • А '- узялі белы шарык таксама з першага скрыні: P (A') = 5/6.
  • В - вынялі шэры шарык ўжо з другога палукашка: P (B) = 2/3.
  • У '- узялі шэры шарык з другога скрыні: P (B') = 1/3.

Па ўмове задачы неабходна, каб здарылася адно з з'яў: АВ 'ці ж А'В. Выкарыстоўваючы формулу, атрымліваем: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Цяпер была выкарыстаная формула па множаньню верагоднасці. Далей, каб даведацца адказ, неабходна прымяніць раўнанне іх складання:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Вось так, выкарыстоўваючы формулу, можна вырашаць падобныя задачы.

вынік

У артыкуле была прадстаўлена інфармацыя па тэме "Тэорыя верагоднасці", верагоднасць падзеі ў якой гуляе найважную ролю. Вядома ж, не ўсё было ўлічана, але, зыходзячы з прадстаўленага тэксту, можна тэарэтычна азнаёміцца з дадзеным раздзелам матэматыкі. Разгляданая навука можа спатрэбіцца не толькі ў прафесійным справе, але і ў паўсядзённым жыцці. З яе дапамогай можна пралічыць любую магчымасць якога-небудзь падзеі.

У тэксце былі закрануты таксама знамянальныя даты ў гісторыі станаўлення тэорыі верагоднасці як навукі, і прозвішчы людзей, чые працы былі ў яе ўкладзеныя. Вось так чалавечая цікаўнасць прывяло да таго, што людзі навучыліся пралічваць нават выпадковыя падзеі. Калісьці яны проста зацікавіліся гэтым, а сёння пра гэта ўжо ведаюць усе. І ніхто не скажа, што чакае нас у будучыні, якія яшчэ геніяльныя адкрыцця, звязаныя з разгляданай тэорыяй, будуць здзейсненыя. Але адно можна сказаць дакладна - даследаванні на месцы не стаяць!

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 be.unansea.com. Theme powered by WordPress.