Правільныя шматграннік: элементы, сіметрыя і плошчу

Геаметрыя прекрасна тым, што, у адрозненне ад алгебры, дзе не заўсёды зразумела, што і навошта лічыш, дае нагляднасць аб'екта. Гэты дзіўны свет розных тэл ўпрыгожваюць сабой правільныя шматграннік.

Агульныя звесткі аб правільных шматкантовікаў

На думку многіх, правільныя шматграннік, ці як іх яшчэ называюць Платонавы цела, валодаюць непаўторнымі ўласцівасцямі. З гэтымі аб'ектамі звязана некалькі навуковых гіпотэз. Калі пачынаеш вывучаць дадзеныя геаметрычныя цела, разумееш, што практычна нічога не ведаеш пра такое паняцце, як правільныя шматграннік. Прэзентацыя гэтых аб'ектаў у школе не заўсёды праходзіць цікава, таму шмат хто нават і не памятаюць, як яны называюцца. У памяці большасці людзей застаецца толькі куб. Ні адны цела ў геаметрыі не валодаюць такім дасканаласцю, як правільныя шматграннік. Усе назвы гэтых геаметрычных тэл адбыліся з Старажытнай Грэцыі. Яны азначаюць колькасць граняў: Тэтраэдр - чатырохграннай, гексаэдр - шасцігранная, актаэдр - васьмігранны, додекаэдра - двенадцатигранный, икосаэдр - двадцатигранный. Усе гэтыя геаметрычныя цела займалі важнейшае месца ў канцэпцыі Платона пра светабудову. Чатыры з іх ўвасаблялі стыхіі або сутнасці: Тэтраэдр - агонь, икосаэдр - ваду, куб - зямлю, актаэдр - паветра. Додекаэдра ўвасабляў ўсё існае. Ён лічыўся галоўным, паколькі быў сімвалам светабудовы.

Абагульненне паняцці мнагагранніка

Мнагаграннікі з'яўляецца сукупнасць канчатковага ліку шматкутнікаў такая, што:

• кожны з бакоў любога з шматкутнікаў з'яўляецца адначасова і бокам толькі аднаго іншага шматкутніка па той жа баку;
• ад кожнага з шматкутнікаў можна дайсці да іншых пераходзячы па сумежных з ім шматкутнікаў.

Шматкутнікі, складнікі шматграннік, ўяўляюць сабой яго грані, а іх боку - рэбры. Вяршынямі шматкантовікаў з'яўляюцца вяршыні шматкутнікаў. Калі пад паняццем шматкутнік разумеюць плоскія замкнёныя ламаныя, то прыходзяць да аднаго вызначэнню мнагагранніка. У тым выпадку, калі пад гэтым паняццем маюць на ўвазе частка плоскасці, што абмежаваная ламанымі лініямі, то варта разумець паверхню, якая складаецца з шматкутных кавалачкаў. Выпуклым Мнагаграннікі называюць цела, якое ляжыць па адзін бок плоскасці, прылеглай да яго грані.

Іншае вызначэнне мнагагранніка і яго элементаў

Мнагаграннікі называюць паверхню, якая складаецца з шматкутнікаў, якая абмяжоўвае геаметрычнае цела. Яны бываюць:

• нявыпуклы;
• выпуклымі (правільныя і няправільныя).

Правільны шматграннік - гэта выпуклы шматграннік з максімальнай сіметрыяй. Элементы правільных шматкантовікаў:

• Тэтраэдр: 6 рэбраў, 4 грані, 5 вяршыняў;
• гексаэдр (куб): 12, 6, 8;
• додекаэдра: 30, 12, 20;
• актаэдр: 12, 8, 6;
• икосаэдр: 30, 20, 12.

тэарэма Эйлера

Яна ўсталёўвае сувязь паміж лікам рэбраў, вяршыняў і граняў, тапалагічнай эквівалентных сферы. Складаючы колькасць вяршыняў і граняў (В + Г) у розных правільных шматкантовікаў і параўноўваючы іх з колькасцю рэбраў, можна ўсталяваць адну заканамернасць: сума колькасці граняў і вяршыняў раўняецца ліку рэбраў (Р), павялічанаму на 2. Можна вывесці простую формулу:

• В + Г = Р + 2.

Гэтая формула дакладная для ўсіх выпуклых шматкантовікаў.

асноўныя вызначэння

Паняцце правільнага мнагагранніка немагчыма апісаць адным сказам. Яно больш неадназначнае і аб'ёмнае. Каб цела было прызнана такім, неабходна, каб яно адказвала шэрагу азначэнняў. Так, геаметрычнае цела будзе з'яўляцца правільны шматграннік пры выкананні такіх умоў:

• яно выпуклае;
• аднолькавая колькасць рэбраў сыходзіцца ў кожнай з яго вяршыняў;
• усе грані яго - правільныя шматкутнікі, роўныя адзін аднаму;
• усе двухграннага куты яго роўныя.

Ўласцівасці правільных шматкантовікаў

Існуе 5 розных тыпаў правільных шматкантовікаў:

1. Куб (гексаэдр) - у яго плоскі кут пры вяршыні складае 90 °. Ён мае 3-Гран кут. Сума плоскіх кутоў ў вяршыні складае 270 °.
2. Тэтраэдр - плоскі кут пры вяршыні - 60 °. Ён мае 3-Гран кут. Сума плоскіх кутоў ў вяршыні - 180 °.
3. Актаэдр - плоскі кут пры вяршыні - 60 °. Ён мае 4-Гран кут. Сума плоскіх кутоў ў вяршыні - 240 °.
4. Додекаэдра - плоскі кут пры вяршыні 108 °. Ён мае 3-Гран кут. Сума плоскіх кутоў ў вяршыні - 324 °.
5. Икосаэдр - у яго плоскі кут пры вяршыні - 60 °. Ён мае 5-Гран кут. Сума плоскіх кутоў ў вяршыні складае 300 °.

Плошчу правільных шматкантовікаў

Плошча паверхні гэтых геаметрычных тэл (S) вылічаецца, як плошча правільнага шматкутніка, памножаная на колькасць яго граняў (G):

• S = (a: 2) х 2G ctg π / p.

Аб'ём правільнага мнагагранніка

Гэтая велічыня вылічаецца шляхам множання аб'ёму правільнай піраміды, у падставе якой знаходзіцца правільны шматкутнік, на лік граняў, а вышыня яе з'яўляецца радыусам упісанай сферы (r):

• V = 1: 3rS.

Аб'ёмы правільных шматкантовікаў

Як і любое іншае геаметрычнае цела, правільныя шматграннік маюць розныя аб'ёмы. Ніжэй прадстаўлены формулы, па якіх можна іх вылічыць:

• Тэтраэдр: α х 3√2: 12;
• актаэдр: α х 3√2: 3;
• икосаэдр; α х 3;
• гексаэдр (куб): 5 х α х 3 х (3 + √5): 12;
• додекаэдра: α х 3 (15 + 7√5): 4.

Элементы правільных шматкантовікаў

Гексаэдр і актаэдр з'яўляюцца дуального геаметрычнымі целамі. Іншымі словамі, яны могуць атрымацца адзін з аднаго ў тым выпадку, калі цэнтр цяжару грані аднаго прымаецца за вяршыню іншага, і наадварот. Таксама дуального з'яўляюцца икосаэдр і додекаэдра. Сам сабе Дуал толькі Тэтраэдр. Па спосабе Еўкліда можна атрымаць додекаэдра з гексаэдра з дапамогай пабудовы «дахаў» на гранях куба. Вяршынямі тэтраэдра будуць любыя 4 вяршыні куба, ня сумежныя парамі па рабры. З гексаэдра (куба) можна атрымаць і іншыя правільныя шматграннік. Нягледзячы на тое што правільных шматкутнікаў ёсць незлічоная мноства, правільных шматкантовікаў існуе ўсяго 5.

Радыусы правільных шматкутнікаў

З кожным з гэтых геаметрычных тэл звязаны 3 канцэнтрычныя сферы:

• апісаная, якая праходзіць праз яго вяршыні;
• ўпісаная, якая тычыцца кожнай яго грані ў цэнтры яе;
• сярэдняя, якая тычыцца ўсіх рэбраў у сярэдзіне.

Радыус сферы апісанай разлічваецца па такой формуле:

• R = a: 2 х tg π / g х tg θ: 2.

Радыус сферы упісанай вылічаецца па формуле:

• R = a: 2 х ctg π / p х tg θ: 2,

дзе θ - двухгранныя кут, які знаходзіцца паміж сумежнымі гранямі.

Радыус сферы сярэдняй можна вылічыць па наступнай формуле:

• ρ = a cos π / p: 2 sin π / h,

дзе h велічыня = 4,6, 6,10 або 10. Стаўленне апісаных і упісаных радыусаў сіметрычна адносна p і q. Яно разлічваецца па формуле:

• R / r = tg π / p х tg π / q.

сіметрыя шматкантовікаў

Сіметрыя правільных шматкантовікаў выклікае асноўны цікавасць да гэтых геаметрычным целаў. Пад ёй разумеюць такі рух цела ў прасторы, якое пакідае адно і тое ж колькасць вяршынь, граняў і рэбраў. Іншымі словамі, пад дзеяннем пераўтварэнні сіметрыі рабро, вяршыня, грань або захоўвае сваё першапачатковае становішча, або перамяшчаецца ў зыходнае становішча іншага рэбры, іншы вяршыні або мяжы.

Элементы сіметрыі правільных шматкантовікаў уласцівыя ўсіх відах такіх геаметрычных тэл. Тут гаворка вядзецца пра тоесным пераўтварэнні, якое пакідае любую з кропак у зыходным становішчы. Так, пры павароце шматкутнай прызмы можна атрымаць некалькі сіметрыі. Любая з іх можа быць прадстаўлена як твор адлюстраванняў. Сіметрыю, якая з'яўляецца творам цотнага колькасці адлюстраванняў, называюць прамой. Калі ж яна з'яўляецца творам няцотнай колькасці адлюстраванняў, то яе называюць зваротнай. Такім чынам, усе павароты вакол прамой ўяўляюць сабой прамую сіметрыю. Любое адлюстраванне мнагагранніка - гэта зваротная сіметрыя.

Каб лепш разабрацца ў элементах сіметрыі правільных шматкантовікаў, можна ўзяць прыклад тэтраэдра. Любая прамая, якая будзе праходзіць праз адну з вяршыняў і цэнтр гэтай геаметрычнай фігуры, будзе праходзіць і праз цэнтр грані, процілеглага ёй. Кожны з паваротаў на 120 і 240 ° вакол прамой належыць да множнага ліку сіметрыі тэтраэдра. Паколькі ў яго па 4 вяршыні і грані, то атрымліваецца ўсяго восем прамых сіметрыі. Любая з прамых, якія праходзяць праз сярэдзіну рэбры і цэнтр гэтага цела, праходзіць праз сярэдзіну яго супрацьлеглага рэбры. Любы паварот на 180 °, званы паўпавароту, вакол прамой з'яўляецца сіметрыяй. Паколькі ў тэтраэдра ёсць тры пары рэбраў, то атрымаецца яшчэ тры прамыя сіметрыі. Зыходзячы з вышэйвыкладзенага, можна зрабіць выснову, што агульная колькасць прамых сіметрыі, і ў тым ліку тоеснае пераўтварэнне, будзе даходзіць да дванаццаці. Іншых прамых сіметрыі ў тэтраэдра не існуе, але пры гэтым у яго ёсць 12 зваротных сіметрыі. Такім чынам, Тэтраэдр характарызуецца усяго 24 сіметрыі. Для нагляднасці можна пабудаваць мадэль правільнага тэтраэдра з кардона і пераканацца, што гэта геаметрычнае цела сапраўды мае ўсяго 24 сіметрыі.

Додекаэдра і икосаэдр - найбольш блізкія да сферы цела. Икосаэдр валодае найбольшай колькасцю граняў, найбольшым двухграннага вуглом і шчыльней за ўсё можа прыціснуцца да упісанай сферы. Додекаэдра валодае найменшай кутнім дэфектам, найбольшым цялесным вуглом пры вяршыні. Ён можа максімальна запоўніць сваю апісаную сферу.

разгорткі шматкантовікаў

Правільныя шматграннік разгорткі, якіх мы ўсе склейваў ў дзяцінстве, маюць шмат паняццяў. Калі ёсць сукупнасць шматкутнікаў, кожны бок якіх атаясамляючы з толькі адным бокам мнагагранніка, то атаясненне бакоў павінна адпавядаць двум умовам:

• ад кожнага шматкутніка можна перайсці па шматкутнікаў, якія маюць атаясненняў бок;
• атаясамліваецца бакі павінны мець аднолькавую даўжыню.

Менавіта сукупнасць шматкутнікаў, якія задавальняюць гэтыя ўмовы, і называецца разгорткай мнагагранніка. Кожнае з гэтых тэл мае іх некалькі. Так, напрыклад, у куба іх налічваецца 11 штук.