Метад матэматычнай індукцыі

Метад матэматычнай індукцыі можа прыраўноўвацца да прагрэсу. Так, пачынаючы з ніжэйшага ўзроўню, даследчыкі з дапамогай лагічнага мыслення пераходзяць да вышэйшага. Любы які паважае сябе чалавек пастаянна імкнецца да прагрэсу і ўменню лагічна думаць. Менавіта таму прыродай створана індуктыўнае мысленне.

Тэрмін «індукцыя» ў перакладзе на рускую мову азначае навядзенне, таму індуктыўнымі прынята лічыць высновы па выніках пэўных досведаў і назіранняў, якія атрыманы шляхам фарміравання ад прыватнага да агульнага.

Прыкладам можа быць сузіранне усходу сонца. Праназіраўшы дадзенае з'ява на працягу некалькіх дзён запар, можна сказаць, што з усходу сонца ўзыдзе і заўтра, і паслязаўтра і г.д.

Індуктыўныя высновы дастаткова шырока ўжываліся і ўжываюцца ў эксперыментальных навуках. Так, з дапамогай іх можна сфармуляваць становішча, на падставе якіх ужо з дапамогай дэдуктыўны метадаў могуць быць зроблены далейшыя высновы. З пэўнай упэўненасцю можна сцвярджаць, што «тры кіты» тэарэтычнай механікі - законы руху Ньютана - самі з'яўляюцца вынікам правядзення прыватных досведаў з падвядзеннем агульнага выніку. А закон Кеплера аб руху планет быў выведзены ім на падставе шматгадовых назіранняў Т. Бразе, дацкага астранома. Менавіта ў прыведзеных выпадках індукцыя адыграла сваю станоўчую ролю для ўдакладнення і абагульнення зробленых здагадак.

Нягледзячы на пашырэнне вобласці свайго прымянення метад матэматычнай індукцыі, на жаль, займае мала часу ў школьнай праграме. Аднак у сучасным свеце менавіта з дзіцячых гадоў неабходна прывучаць падрастаючае пакаленне думаць індуктыўна, а не проста вырашаць задачы па вызначаным шаблоне або зададзенай формуле.

Метад матэматычнай індукцыі можа быць шырока ўжыты ў алгебры, арыфметыцы і геаметрыі. У гэтых раздзелах неабходна праводзіць доказ праўдзівасці некаторага мноства лікаў, які залежыць ад натуральных зменных.

Прынцып матэматычнай індукцыі грунтуецца на доказе праўдзівасці прапановы A (n) для любых значэнняў зменнай і складаецца з двух этапаў:

1. Праўдзівасць прапановы A (n) даказана пры n = 1.

2. У выпадку, калі прапанова A (n) захоўвае праўдзівасць для n = k (k - натуральны лік), яно будзе сапраўдным для наступнага значэння n = k + 1.

Дадзены прынцып і фармулюе метад мат. індукцыі. Часцяком ён прымаецца як аксіёма, якая вызначае шэраг лікаў, і ўжываецца без доказаў.

Існуюць моманты, калі метад матэматычнай індукцыі ў некаторых выпадках падлягае доказу. Так, у выпадку, калі патрабуецца даказаць праўдзівасць прапанаванага мноства A (n) для ўсіх натуральных лікаў n, неабходна:

- праверыць на сапраўднасць выказванне A (1);

- даказаць праўдзівасць выказванні A (k + 1) пры прыняцці пад увагу праўдзівасць A (k).

У выпадку ўдалага доказы справядлівасці гэтай прапановы для любога натуральнага ліку k прызнаецца сапраўдным прапанову A (n) для ўсіх значэнняў n, у адпаведнасці з названым прынцыпам.

Прыведзены метад матэматычнай індукцыі досыць шырока выкарыстоўваецца ў доказах тоеснасцей, тэарэм, няроўнасцей. Таксама можа прымяняцца ў вырашэнні задач геаметрычнага характару і на дзелім.

Аднак не варта думаць, што на гэтым і заканчваецца выкарыстанне метаду індукцыі ў матэматыцы. Напрыклад, не абавязкова эксперыментальна правяраць усе тэарэмы, якія лагічна выведзеныя з аксіём. Але пры гэтым з гэтых аксіём ёсць магчымасць фармулявання вялікай колькасці сцвярджэнняў. І менавіта выбар сцвярджэнняў і падказваюць выкарыстаннем індукцыі. З дапамогай гэтага метаду можна падзяліць усе тэарэмы на неабходныя для навукі і практыкі і не вельмі.