Вектар. складанне вектараў

Вывучэнне матэматыкі прыводзіць да пастаяннага ўзбагачэнні і павелічэнню разнастайнасці сродкаў мадэлявання аб'ектаў і з'яў навакольнага асяроддзя. Так, пашырэнне паняцці колькасці дазваляе прадставіць колькасную характарыстыку аб'ектаў навакольнага асяроддзя, з дапамогай новых класаў геаметрычных фігур атрымліваецца апісваць разнастайнасць іх формаў. Але развіццё прыродазнаўчых навук і запыты самой матэматыкі патрабуюць ўвядзення і вывучэння новых і новых сродкаў мадэлявання. У прыватнасці, вялікая колькасць фізічных велічынь немагчыма ахарактарызаваць толькі лікамі, таму што важна і кірунак іх дзеяння. А дзякуючы таму, што накіраваныя адрэзкі характарызуюць і напрамкі, лікавыя значэння, то на гэтай аснове і атрымалася новае паняцце матэматыкі - паняцце вектара.

Выкананне асноўных матэматычных дзеянняў над імі таксама вызначылася па фізічных меркаваннях, і гэта ў рэшце рэшт прывяло да падставы вектарнай алгебры, якая цяпер выконвае велізарную ролю пры фарміраванні фізічных тэорый. Адначасова з гэтым, у матэматыцы, такі выгляд алгебры і яе абагульнення сталі вельмі зручным мовай, а таксама сродкам атрымання і вызначэння новых вынікаў.

Што ж такое вектар?

Вектарам называюць сукупнасць усіх накіраваных адрэзкаў, якія маюць аднолькавую даўжыню і зададзены кірунак. Кожны з адрэзкаў гэтай сукупнасці называюць выявай вектара.

Зразумела, што вектар пазначаецца сваім малюнкам. Усе накіраваныя адрэзкі, якія малююць вектар а, маюць аднолькавую даўжыню і кірунак, якія называюцца, адпаведна, даўжынёй (модулем, абсалютным значэннем) і кірункам вектара. Яго даўжыня пазначаецца IaI. Два вектары называюць роўнымі, калі ў іх аднолькавае кірунак і аднолькавая даўжыня.

Накіраваны адрэзак, пачаткам якога з'яўляецца кропка А, а канцом - кропка У, адназначна характарызуецца ўпарадкаванай парай кропак (А; У). Разгледзім таксама мноства пар (А; А), (У; У) .... Гэта мноства пазначае вектар, які называецца нулявым і пазначаецца 0. Выявай нулявога вектара з'яўляецца любая кропка. Модуль нулявога вектара лічыцца роўным нулю. Паняцце напрамкі нулявога вектара не вызначана.

Для любога ненулявога вектара вызначаюць вектар, супрацьлеглы зададзенаму, гэта значыць такой, які мае такую ж даўжыню, але супрацьлеглае кірунак. Вектары, якія маюць аднолькавае альбо супрацьлеглыя напрамкі, называюцца коллинеарными.

Магчымасці прымянення вектараў звязаныя з увядзеннем дзеянняў над вектарамі і стварэннем вектарнай алгебры, якая мае шмат агульных уласцівасцяў з звычайнай «лікавы» алгебрай (хоць, вядома, ёсць і істотныя адрозненні).

Складанне двух вектараў (неколлинеарных) выконваецца па правілу трыкутніка (змесцім пачатак вектара b у канец вектара a, тады вектар a + b злучае пачатак вектара a з канцом вектару b) або паралелаграма (змесцім пачатку вектараў a і b ў адну кропку, тады вектар a + b, маючы пачатак у той жа кропцы, з'яўляецца дыяганаллю паралелаграма, які пабудаваны на вектарах a і b). Складанне вектараў (некалькіх) можна выканаць, скарыстаўшыся правілам шматкутніка. Калі складнікі коллинеарны, то адпаведныя геаметрычныя канструкцыі скарачаюцца.

Аперацыі з вектарамі, якія зададзены каардынатамі, зводзяцца да аперацый з лікамі: складанне вектараў - складанне адпаведных каардынат, напрыклад, калі а = (х1; у1), а b = (х2; у2), то a + b = (x1 + x2 ; y1 + y2).

Правіла складання вектараў валодае ўсімі алгебраічнымі ўласцівасцямі, якія ўласцівыя складанні лікаў:

1. Ад перастаноўкі складнікаў сума не змяняецца:
   a + b = b + a
   Складанне вектараў з дапамогай гэтага ўласцівасці вынікае з правілы паралелаграма. Сапраўды, якая розніца, у якім парадку падсумаваць вектары a і b, калі дыяганаль паралелаграма ўсё роўна адна і тая ж?
2. Ўласцівасць асацыятыўнасці:
   (A + b) + c = a + (b + c).
3. Прыбытак да вектару нулявога вектара нічога не мяняе:
   a +0 = a
   Гэта цалкам відавочна, калі ўявіць сабе такое складанне з пункту гледжання правілы трыкутніка.
4. У кожнага вэктару a ёсць супрацьлеглы вектар, які пазначаецца - a; складанне вектараў, станоўчых і адмоўных, будзе раўняцца нулю: a + (- a) = 0.