Сілавыя лініі электрычнага поля. ўвядзенне

Адрозніваюць поля скалярныя і вектарныя (у нашым выпадку вектарным полем будзе электрычнае). Адпаведна, яны мадэлююцца скалярнага або вектарнымі функцыямі каардынатаў, а таксама часам.

Скалярны поле апісваецца функцыяй віду φ. Такія поля можна наглядна адлюстраваць з дапамогай паверхняў аднолькавага ўзроўню: φ (x, y, z) = c, c = const.

Вызначым вектар, які накіраваны ў бок максімальнага росту функцыі φ.

Абсалютная значэнне гэтага вэктару вызначае хуткасць змены функцыі φ.

Відавочна, што скалярны поле спараджае вектарнае поле.

Такое электрычнае поле называюць патэнцыйным, а функцыя φ называецца патэнцыялам. Паверхні аднолькавага ўзроўню называюць эквипотенциальными паверхнямі. Для прыкладу разгледзім электрычнае поле.

Для навочнага адлюстравання палёў будуюць так званыя сілавыя лініі электрычнага поля. Яшчэ іх называюць вектарнымі лініямі. Гэта лініі, датычная да якіх у пункце паказвае кірунак электрычнага поля. Колькасць ліній, якія праходзяць праз адзінкавую паверхню, прапарцыйна абсалютным значэнні вектара.

Ўвядзем паняцце вектарнага дыферэнцыяла ўздоўж некаторай лініі l. Гэты вектар накіраваны па датычнай да лініі l і па абсалютным значэнні роўны дыферэнцыялы dl.

Хай зададзена некаторы электрычнае поле, якое трэба прадставіць як сілавыя лініі поля. Іншымі словамі, вызначым каэфіцыент расцяжэння (сціску) k вэктару, каб ён супадаў з дыферэнцыялам. Прыраўноўваючы кампаненты дыферэнцыяла і вэктару, атрымаем сістэму раўнанняў. Пасля інтэгравання можна пабудаваць раўнанне сілавых ліній.

У вектарным аналізе ёсць аперацыі, якія даюць інфармацыю пра тое, якія сілавыя лініі электрычнага поля маюць месца ў канкрэтным выпадку. Ўвядзем паняцце «паток вектара» на паверхні S. Фармальнае вызначэнне патоку Ф мае наступны выгляд: велічыня, разглядаецца як твор звычайнага дыферэнцыяла ds на орт нармалі да паверхні s. ОРТ выбіраецца так, каб ён вызначаў знешнюю нармаль паверхні.

Можна правесці аналогію паміж паняццем патоку поля і патоку рэчывы: рэчыва за адзінку часу праходзіць праз паверхню, якая ў сваю чаргу перпендыкулярная кірунку патоку поля. Калі сілавыя лініі электрастатычнага поля выходзяць з паверхні S вонкі, тады паток з'яўляецца станоўчым, а калі не выходзяць - адмоўным. У агульным выпадку паток можна ацаніць лікам сілавых ліній, што выходзяць з паверхні. З іншага боку, велічыня патоку прапарцыйная ліку сілавых ліній, пранізлівых элемент паверхні.

Дывергенцыя вектарнай функцыі разлічваецца ў кропцы, аколышам якой з'яўляецца аб'ём ΔV. S - паверхня, якая ахоплівае аб'ём ΔV. Аперацыя дывергенцыі дазваляе характарызаваць кропкі прасторы на наяўнасць у ім крыніц поля. Пры сціску паверхні S ў кропку P сілавыя лініі электрычнага поля, пранізлівыя паверхню, застануцца ў тым жа колькасці. Калі кропка прасторы не з'яўляецца крыніцай поля (уцечкай або сцёкам), то пры сціску паверхні ў гэтую кропку сума сілавых ліній, пачынаючы з некаторага моманту, раўняецца нулю (колькасць ліній, якія ўваходзяць у паверхню S роўна колькасці ліній, выходных з гэтай паверхні).

Інтэграл па замкнёным контуры L у вызначэнні аперацыі ротара называецца цыркуляцыяй электрычнасці па контуры L. Аперацыя ротара характарызуе поле ў пункце прасторы. Кірунак ротара вызначае велічыню замкнёнага патоку поля вакол дадзенай кропкі (ротар характарызуе віхор поля) і яго кірунак. Грунтуючыся на вызначэнне ротара, шляхам нескладаных пераўтварэнняў можна разлічыць праекцыі вэктару электрычнасці ў декартовой сістэме каардынатаў, а таксама сілавыя лініі электрычнага поля.