Складанне дробаў: вызначэння, правілы і прыклады задач

Аднымі з самых складаных для разумення школьніка з'яўляюцца розныя дзеянні з простымі дробамі. Гэта звязана з тым, што дзецям яшчэ складана думаць абстрактна, а дробу, па сутнасці, для іх менавіта так і выглядаюць. А таму, выкладаючы матэрыял, настаўнікі часта звяртаюцца да аналогій і тлумачаць адніманне і складанне дробаў літаральна на пальцах. Хоць без правілаў і азначэнняў не абыходзіцца ні адзін урок школьнай матэматыкі.

базавыя паняцці

Перш чым прыступіць да любых дзеянняў з дробамі, пажадана засвоіць некалькі базавых азначэнняў і правілаў. Першапачаткова важна разумець, што такое дроб. Пад ёй маецца на ўвазе лік, якое прадстаўляе сабой адну або некалькі доляй адзінкі. Напрыклад, калі бохан разрэзаць на 8 частак і 3 лустачкі з іх выкласці ў талерку, то 3/8 і будзе шротам. Прычым у такім напісанні гэта будзе просты дробам, дзе колькасць над рысай - гэта лічнік, а пад ёй - назоўнік. А вось калі яе запісаць як 0,375, гэта ўжо будзе дзесятковы дроб.

Да таго ж простыя дробу падпадзяляюць на правільныя, няправільныя і змешаныя. Да першых адносяць усе тыя, лічнік якіх менш назоўніка. Калі наадварот, назоўнік менш лічнік, гэта ўжо будзе няправільная дроб. У выпадку, калі перад правільнай варта цэлы лік, кажуць аб змешаных ліках. Такім чынам, дроб 1/2 - правільная, а 7/2 - не. А калі яе запісаць у такім выглядзе: 3 ^_1/2, то яна стане змяшанай.

Каб лягчэй было разабрацца ў тым, што такое складанне дробаў, і з лёгкасцю яго выконваць, важна яшчэ запомніць асноўная ўласцівасць дробу. Яго сутнасць у наступным. Калі лічнік і назоўнік памножыць на адно і тое ж лік, то дроб не зменіцца. Менавіта гэта ўласцівасць дазваляе здзяйсняць самыя простыя дзеянні са звычайнымі і іншымі дробамі. Па факце гэта азначае, што 1/15 і 3/45, па сутнасці, адно і тое ж лік.

Складанне дробаў з аднолькавымі назоўніка

Выкананне гэтага дзеянні звычайна не выклікае вялікіх цяжкасцяў. Складанне дробаў у гэтым выпадку вельмі моцна нагадвае падобнае дзеянне з цэлымі лікамі. Назоўнік застаецца без зменаў, а лічніку проста складаюцца паміж сабой. Напрыклад, калі трэба скласці дробу 2/7 і 3/7, то рашэнне школьнай задачы ў сшытку будзе вось такім:

2/7 + 3/7 = (2 + 3) / 7 = 5/7.

Да таго ж такое складанне дробаў можна растлумачыць на простым прыкладзе. Ўзяць звычайнае яблык і разрэзаць, напрыклад, на 8 частак. Выкласці асобна спачатку 3 часткі, а затым дадаць да іх яшчэ 2. І ў выніку ў кубку будзе ляжаць 5/8 цэлага яблыка. Саму арыфметычную задачу запісваюць, як паказана ніжэй:

3/8 + 2/8 = (3 + 2) / 8 = 5/8.

Складанне дробаў з рознымі назоўніка

Але часцяком сустракаюцца задачы паскладаней, дзе трэба скласці паміж сабой, напрыклад, 5/9 і 3/5. Вось тут і ўзнікаюць першыя складанасці ў дзеяннях з дробамі. Бо складанне такіх лікаў запатрабуе дадатковых ведаў. Зараз у поўнай меры спатрэбіцца ўспомніць аб іх асноўным ўласцівасці. Каб скласці дробу з прыкладу, для пачатку іх трэба прывесці да аднаго агульнага назоўніка. Для гэтага неабходна проста перамнажаць 9 і 5 паміж сабой, лічнік "5" памножыць на 5, а "3", адпаведна, на 9. Такім чынам, ужо складваюцца такія дробу: 25/45 і 27/45. Цяпер толькі засталося скласці лічнік і атрымаць адказ 52/45. На лістку паперы прыклад будзе выглядаць так:

5/9 + 3/5 = (5 х 5) / (9 х 5) + (3 х 9) / (5 х 9) = 25/45 + 27/45 = (25 + 27) / 45 = 52 / ₄₅ = 1 ^7/45.

Але складанне дробаў з такімі назоўніка не заўсёды патрабуе простага перамнажэннем лікаў пад рысай. Спачатку шукаюць найменшы агульны назоўнік. Да прыкладу, як для дробаў 2/3 і 5/6. Для іх гэта будзе лік 6. Але не заўсёды адказ відавочны. У гэтым выпадку варта ўспомніць правіла пошуку найменшага агульнага кратнага (скарочана НАК) двух лікаў.

Пад ім разумеюць найменшы агульны множнік двух цэлых лікаў. Каб яго знайсці, раскладваюць кожнае на простыя множнікі. Цяпер выпісваюць тыя з іх, якія ўваходзяць хаця б адзін раз у кожны лік. Перамнажаюцца іх паміж сабой і атрымліваюць той самы назоўнік. На справе ўсё выглядае трохі прасцей.

Напрыклад, патрабуецца скласці дробу 4/15 і 1/6. Так, 15 атрымліваецца перамнажэннем простых лічбаў 3 і 5, а шэсць - два і тры. Значыць, НАК для іх будзе 5 х 3 х 2 = 30. Цяпер, падзяліўшы 30 на назоўнік першай дробу, атрымаем множнік для яе лічнік - 2. А для другой дробу гэта будзе лік 5. Такім чынам, застаецца скласці звычайныя дробу 8/30 і 5/30 і атрымаць адказ 13/30. Усё лімітава проста. У сшыткі ж варта гэтую задачу запісаць так:

4/15 + 1/6 = (4 х 2) / (15 х 2) + (1 х 5) / (6 х 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

НАК (15, 6) = 30.

Складанне змешаных лікаў

Цяпер, ведаючы ўсе асноўныя прыёмы ў складанні простых дробаў, можна паспрабаваць свае сілы на больш складаных прыкладах. І гэта будуць змешаныя колькасці, пад якімі разумеюць дроб такога віду 2 ^_2/3. Тут перад правільнай дробам выпісаная цэлая частка. І многія блытаюцца пры здзяйсненні дзеянняў з такімі лікамі. У рэчаіснасці, тут працуюць усе тыя ж правілы.

Каб скласці паміж сабой змешаныя колькасці, асобна складаюць цэлыя часткі і правільныя дробу. А затым ужо сумуюць гэтыя 2 выніку. На практыцы ўсё нашмат прасцей, варта толькі крыху папрактыкавацца. Напрыклад, у задачы патрабуецца скласці такія змешаныя колькасці 1 ^_1/3 і 4 ^_2/5. Каб гэта зрабіць, спачатку складаюцца 1 і 4 - атрымаецца 5. Затым сумуюць 1/3 і 2/5, выкарыстоўваючы прыёмы прывядзення да найменшага агульнага назоўніка. Рашэннем будзе 11/15. А канчатковы адказ - гэта 5 ^_11/15. У школьнай сшыткі гэта будзе выглядаць значна карацей:

_{^{1 1/3 + 4 2/}} 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11/15 .

Складанне дзесятковых дробаў

Акрамя звычайных дробаў, ёсць і дзесятковыя. Яны, дарэчы, нашмат часцей сустракаюцца ў жыцці. Напрыклад, кошт у краме выглядае часта такім чынам: 20,3 рубля. Гэта і ёсць тая самая дроб. Вядома, такія складаць нашмат прасцей, чым звычайныя. У прынцыпе, трэба проста скласці 2 звычайных колькасці, галоўнае, у патрэбным месцы паставіць коску. Вось тут і ўзнікаюць складанасці.

Да прыкладу патрабуецца скласці такія дзесятковыя дробы 2,5 і 0,56. Каб зрабіць гэта правільна, трэба да першай у канцы дапісаць нуль, і ўсё будзе ў парадку.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Важна ведаць, што любая дзесятковы дроб можа быць ператворана ў простую, але не любую простую дроб можна запісаць як дзесятковы. Так, з нашага прыкладу 2,5 = 2 ^_1/2 і 0,56 = 14/25. А вось такая дроб, як 1/6, будзе толькі прыблізна роўная 0,16667. Такая ж сітуацыя будзе з іншымі падобнымі лікамі - 2/7, 1/9 і гэтак далей.

заключэнне

Многія школьнікі, не разумеючы практычнай боку дзеянняў з дробамі, ставяцца да гэтай тэмы праз рукавы. Аднак у больш старэйшых класах гэтыя базавыя веды дазволяць пстрыкаць як арэшкі складаныя прыклады з лагарыфмы і знаходжаннем вытворных. А таму варта адзін раз добра разабрацца ў дзеяннях з дробамі, каб потым не кусаць ад прыкрасці локці. Бо наўрад ці педагог ў старэйшых класах будзе вяртацца да гэтай, ужо пройдзенай, тэме. Любы старшакласнік павінен умець выконваць падобныя практыкаванні.