Прыклад матэматычнай мадэлі. Вызначэнне, класіфікацыя і асаблівасці

У прапанаванай вашай увазе артыкуле мы прапануем прыклады матэматычных мадэляў. Акрамя гэтага, мы звернем увагу на этапы стварэння мадэляў і разбярэм некаторыя задачы, звязаныя з матэматычным мадэляваннем.

Яшчэ адзін наш пытанне - гэта матэматычныя мадэлі ў эканоміцы, прыклады, вызначэнне якіх мы разгледзім крыху пазней. Пачаць нашу гутарку мы прапануем з самога паняцця «мадэль», коратка разгледзім іх класіфікацыю і пяройдзем да асноўных нашым пытаннях.

Паняцце «мадэль»

Мы часта чуем слова «мадэль». Што ж гэта такое? Дадзены тэрмін мае мноства азначэнняў, вось толькі тры з іх:

• спецыфічны аб'ект, які ствараецца для атрымання і захоўвання інфармацыі, які адлюстроўвае некаторыя ўласцівасці або характарыстыкі і гэтак далей арыгінала дадзенага аб'екта (гэты спецыфічны аб'ект можа выяўляцца ў рознай форме: разумовы, апісанне з дапамогай знакаў і гэтак далей);
• яшчэ пад мадэллю маецца на ўвазе адлюстраванне якой-небудзь канкрэтнай сітуацыі, жыццёвай або кіраўніцкай;
• мадэллю можа служыць паменшаная копія якога-небудзь аб'екта (яны ствараюцца для больш падрабязнага вывучэння і аналізу, так як мадэль адлюстроўвае структуру і ўзаемасувязі).

Зыходзячы з усяго, што было сказана раней, можна зрабіць невялікі выснову: мадэль дазваляе падрабязна вывучыць складаную сістэму або аб'ект.

Усе мадэлі можна класіфікаваць па шэрагу прыкмет:

• па вобласці выкарыстання (навучальныя, дасведчаныя, навукова-тэхнічныя, гульнявыя, імітацыйныя);
• па дынаміцы (статычныя і дынамічныя);
• па галіне ведаў (фізічныя, хімічныя, геаграфічныя, гістарычныя, сацыялагічныя, эканамічныя, матэматычныя);
• па спосабе прадстаўлення (матэрыяльныя і інфармацыйныя).

Інфармацыйныя мадэлі, у сваю чаргу, дзеляцца на знакавыя і вербальныя. А знакавыя - на кампутарныя і некомпьютерных. Цяпер пяройдзем да падрабязнаму разгляду прыкладаў матэматычнай мадэлі.

матэматычная мадэль

Як не цяжка здагадацца, матэматычная мадэль адлюстроўвае якія-небудзь рысы аб'екта або з'явы пры дапамозе адмысловых матэматычных знакаў. Матэматыка і патрэбна для таго, каб мадэляваць заканамернасці навакольнага свету на сваім спецыфічным мове.

Метад матэматычнага мадэлявання зарадзіўся досыць даўно, тысячы гадоў таму, разам са з'яўленнем дадзенай навукі. Аднак штуршок для развіцця дадзенага спосабу мадэлявання дало з'яўленне ЭВМ (электронна-вылічальных машын).

Цяпер пяройдзем да класіфікацыі. Яе гэтак жа можна правесці па некаторых прыкметах. Яны прадстаўлены ў табліцы ніжэй.

Класіфікацыя па галіне навукі	Прымяненне матэматычных мадэляў у фізіцы, сацыялогіі, хіміі і гэтак далей
Па матэматычнаму апарату, які выкарыстоўваецца ў працэсе мадэлявання	Мадэлі на аснове дыферэнцыяльных раўнанняў, дыскрэтных алгебраічных пераўтварэнняў і таму падобнае
Па мэтам мадэлявання	Згодна з дадзеным прынцыпе, вылучаюць апісальныя, аптымізацыйных, многокритериальные, гульнявыя і імітацыйныя мадэлі

Мы прапануем спыніцца і падрабязней разгледзець апошнюю класіфікацыю, так як яна адлюстроўвае агульныя заканамернасці мадэлявання і мэты ствараюцца мадэляў.

дэскрыптыўныя мадэлі

У дадзеным раздзеле мы прапануем спыніцца падрабязней на дэскрыптыўныя матэматычных мадэлях. Для таго каб было ўсё крайне зразумела, будзе прыведзены прыклад.

Пачнем з таго, што гэты від можна назваць апісальным. Гэта звязана з тым, што мы проста робім разлікі і прагнозы, але ніяк не можам паўплываць на зыход падзеі.

Яскравым прыкладам апісальнай матэматычнай мадэлі з'яўляецца вылічэнне траекторыі палёту, хуткасці, адлегласці ад Зямлі каметы, якая ўварвалася ў абшары нашай Сонечнай сістэмы. Гэтая мадэль з'яўляецца апісальнай, так як усе атрыманыя вынікі могуць толькі папярэдзіць нас пра які-небудзь небяспекі. Паўплываць на зыход падзеі, на жаль, мы не можам. Аднак, грунтуючыся на атрыманых разліках, можна распачаць якія-небудзь меры для захавання жыцця на Зямлі.

аптымізацыйных мадэлі

Зараз мы трохі пагаворым аб эканоміка-матэматычных мадэлях, прыкладамі якіх могуць служыць розныя склаліся сітуацыі. У дадзеным выпадку гаворка ідзе пра мадэлі, якія дапамагаюць знайсці дакладны адказ у пэўных умовах. Яны абавязкова маюць нейкія параметры. Каб стала крайне зразумела, разгледзім прыклад з аграрнай часткі.

У нас ёсць збожжасховішча, але збожжа вельмі хутка псуецца. У гэтым выпадку нам неабходна правільна падабраць тэмпературны рэжым і аптымізаваць працэс захоўвання.

Такім чынам, мы можам даць вызначэнне паняццю «аптымізацыйных мадэль». У матэматычным сэнсе гэта сістэма раўнанняў (як лінейных, так і няма), рашэнне якой дапамагае знайсці аптымальнае рашэнне ў канкрэтнай эканамічнай сітуацыі. Прыклад матэматычнай мадэлі (аптымізацыйных) мы разгледзелі, але хочацца яшчэ дадаць: дадзены выгляд ставіцца да класа экстрэмальных задач, яны дапамагаюць апісаць функцыянаванне эканамічнай сістэмы.

Адзначым яшчэ адзін нюанс: мадэлі могуць насіць розны характар (гл. Табліцу ніжэй).

дэтэрмінаваных	У дадзеным выпадку вынік залежыць ад ўваходных дадзеных
выпадковыя	Апісанне выпадковых працэсаў. У дадзеным выпадку вынік застаецца нявызначаным

Многокритериальные мадэлі

Зараз прапануем вам пагаварыць трохі аб матэматычнай мадэлі многокритериальной аптымізацыі. Да гэтага мы прывялі прыклад матэматычнай мадэлі аптымізацыі працэсу па якому-небудзь аднаму крытэру, але што рабіць, калі іх шмат?

Яскравым прыкладам многокритериальной задачы служыць арганізацыя правільнага, карыснага і адначасова эканомнага харчавання вялікіх груп людзей. З такімі задачамі часта сустракаюцца ў войску, школьных сталовых, летніх лагерах, бальнiцах i гэтак далей.

Якія крытэры нам дадзены ў дадзенай задачы?

1. Харчаванне павінна быць карысным.
2. Выдаткі на ежу павінны быць мінімальнымі.

Як бачыце, гэтыя мэты зусім не супадаюць. Значыць, пры рашэнні задачы неабходна шукаць аптымальнае рашэнне, баланс паміж двума крытэрамі.

гульнявыя мадэлі

Кажучы аб гульнявых мадэлях, неабходна разумець паняцце «тэорыя гульняў». Калі казаць проста, то дадзеныя мадэлі адлюстроўваюць матэматычныя мадэлі сапраўдных канфліктаў. Толькі варта разумець, што, у адрозненне ад рэальнага канфлікту, гульнявая матэматычная мадэль мае свае пэўныя правілы.

Зараз будзе прыведзены мінімум інфармацыі з тэорыі гульняў, якая дапаможа вам зразумець, што такое гульнявая мадэль. І так, у мадэлі абавязкова прысутнічаюць боку (дзве або больш), якіх прынята называць гульцамі.

Усе мадэлі маюць нейкія характарыстыкі.

суб'екты	колькасць гульцоў
стратэгія	Варыянты магчымых дзеянняў
плацёж	Зыход канфлікту (выйгрыш або пройгрыш).

Гульнявая мадэль можа быць парнай або множнай. Калі ў нас ёсць два суб'екты, то канфлікт парны, калі больш - множны. Таксама можна вылучыць антаганістычных гульню, яе яшчэ называюць гульнёй з нулявой сумай. Гэта мадэль, у якой выйгрыш аднаго з удзельнікаў раўняецца пройгрышу іншага.

імітацыйныя мадэлі

У дадзеным раздзеле мы звернем увагу на імітацыйныя матэматычныя мадэлі. Прыкладамі задач могуць служыць:

• мадэль дынамікі колькасці мікраарганізмаў;
• мадэль руху малекул, і гэтак далей.

У дадзеным выпадку мы гаворым пра мадэлі, якія максімальна набліжаны да рэальных працэсаў. Па вялікім рахунку, яны імітуюць якое-небудзь праява ў прыродзе. У першым выпадку, напрыклад, мы можам мадэляваць дынаміку колькасці мурашак ў адной калоніі. Пры гэтым можна назіраць за лёсам кожнай асобнай асобіны. У дадзеным выпадку матэматычнае апісанне выкарыстоўваюць рэдка, часцей прысутнічаюць пісьмовыя ўмовы:

• праз пяць дзён жаночая асобіна адкладае яйкі;
• праз дваццаць дзён мурашка гіне, і гэтак далей.

Такім чынам, імітацыйныя мадэлі выкарыстоўваюцца для апісання вялікай сістэмы. Матэматычнае зняволенне - гэта апрацоўка атрыманых статыстычных дадзеных.

патрабаванні

Вельмі важна ведаць, што да дадзенага выгляду мадэлі прад'яўляюць некаторыя патрабаванні, сярод якіх - прыведзеныя ў табліцы ніжэй.

Універсальнасць	Гэта ўласцівасць дазваляе выкарыстоўваць адну і тую ж мадэль пры апісанні аднатыпных груп аб'ектаў. Важна адзначыць, што універсальныя матэматычныя мадэлі зусім не залежаць ад фізічнай прыроды доследнага аб'екта
адэкватнасць	Тут важна разумець, што дадзенае ўласцівасць дазваляе максімальна правільна прайграваць рэальныя працэсы. У задачах эксплуатацыі вельмі важна дадзенае ўласцівасць матэматычнага мадэлявання. Прыкладам мадэлі можа служыць працэс аптымізацыі выкарыстання газавай сістэмы. У дадзеным выпадку супастаўляюцца разліковыя і фактычныя паказчыкі, у выніку правяраецца правільнасць складзенай мадэлі
дакладнасць	Дадзенае патрабаванне мае на ўвазе супадзенне значэнняў, якія мы атрымліваем пры разліку матэматычнай мадэлі і ўваходных параметраў нашага рэальнага аб'екта
эканамічнасць	Патрабаванне эканамічнасці, прад'яўлянае да любой матэматычнай мадэлі, характарызуецца выдаткамі на рэалізацыю. Калі праца з мадэллю ажыццяўляецца ручным спосабам, то неабходна разлічыць, колькі часу пойдзе на рашэнне адной задачы пры дапамозе дадзенай матэматычнай мадэлі. Калі гаворка ідзе аб аўтаматызаваным праектаванні, то разлічваюцца паказчыкі выдаткаў часу і памяці кампутара

этапы мадэлявання

Усяго ў матэматычным мадэляванні прынята вылучаць чатыры этапы.

1. Фармулёўка законаў, якія злучаюць часткі мадэлі.
2. Даследаванне матэматычных задач.
3. Высвятленне супадзенняў практычных і тэарэтычных вынікаў.
4. Аналіз і мадэрнізацыя мадэлі.

Эканоміка-матэматычная мадэль

Гэты параграф асветлім пытанне эканоміка-матэматычных мадэляў. Прыкладамі задач могуць служыць:

• фарміраванне вытворчай праграмы выпуску мясной прадукцыі, якая забяспечвае максімальную прыбытак вытворчасці;
• максімізацыя прыбытку арганізацыі шляхам разліку аптымальнага колькасці выпуску сталоў і крэслаў на мэблевай фабрыцы, і гэтак далей.

Эканоміка-матэматычная мадэль адлюстроўвае эканамічную абстракцыю, якая выяўлена пры дапамозе матэматычных тэрмінаў і знакаў.

Кампутарная матэматычная мадэль

Прыкладамі кампутарнай матэматычнай мадэлі з'яўляюцца:

• задачы гідраўлікі пры дапамозе блок-схем, дыяграм, табліц, і гэтак далей;
• задачы на механіку цвёрдага цела, і гэтак далей.

Кампутарная мадэль - гэта вобраз аб'екта або сістэмы, прадстаўлены ў выглядзе:

• табліцы;
• блок-схемы;
• дыяграмы;
• графіка, і гэтак далей.

Пры гэтым дадзеная мадэль адлюстроўвае структуру і ўзаемасувязі сістэмы.

Пабудова эканоміка-матэматычнай мадэлі

Мы ўжо раней сказалі пра тое, што такое эканоміка-матэматычная мадэль. Прыклад рашэння задачы будзе разгледжаны прама цяпер. Нам неабходна вырабіць аналіз вытворчай праграмы для выяўлення рэзерву павышэння прыбытку пры зруху ў асартыменце.

Цалкам разглядаць задачу мы не будзем, а толькі пабудуем эканоміка-матэматычную мадэль. Крытэр нашай задачы - максімізацыя прыбытку. Тады функцыя мае выгляд: Л = Р1 * х1 + р2 * х2 ..., якое імкнецца да максімуму. У дадзенай мадэлі р - гэта прыбытак за адзінку, х - гэта колькасць вырабляюцца адзінак. Далей, грунтуючыся на пабудаванай мадэлі, неабходна вырабіць разлікі і падвесці вынік.

Прыклад пабудовы простай матэматычнай мадэлі

Задача. Рыбак вярнуўся з наступным уловам:

• 8 рыб - насельнікі паўночных мораў;
• 20% улову - насельнікі паўднёвых мораў;
• з мясцовай ракі не выявілася ні адной рыбы.

Колькі рыб ён купіў у краме?

Такім чынам, прыклад пабудовы матэматычнай мадэлі дадзенай задачы выглядае наступным чынам. Пазначаем агульная колькасць рыб за х. Вынікаючы умове, 0,2х - гэта колькасць рыб, якія жывуць у паўднёвых шыротах. Цяпер аб'яднаем ўсю наяўную інфармацыю і атрымліваем матэматычную мадэль задачы: х = 0,2х + 8. Вырашаем раўнанне і атрымліваем адказ на галоўнае пытанне: 10 рыб ён купіў у краме.