Перыметр трыкутніка: паняцце, характарыстыка, спосабы вызначэння

Трохкутнік ёсьць адною з фундаментальных геаметрычных фігур, якія ўяўляюць сабой тры перасякальных адрэзка прамых. Гэтая постаць была вядомая яшчэ навукоўцам Старажытнага Егіпта, Старажытнай Грэцыі і Старажытнага Кітая, якія і вывелі большасць формул і заканамернасцяў, якія выкарыстоўваюцца навукоўцамі, інжынерамі і канструктарамі да гэтага часу.

Да асноўных састаўным частках трыкутніка адносяцца:

• Вяршыні - кропкі перасячэння адрэзкаў.

• Бакі - перасякальныя адрэзкі прамых.

Зыходзячы з гэтых складовых частак, фармулююць такія паняцці, як перыметр трохвугольніка, яго плошча, ўпісаная і апісаная акружнасць. Яшчэ са школы вядома, што перыметр трыкутніка ўяўляе сабой лікавае выраз сумы ўсіх трох яго бакоў. У той жа час формул для знаходжання дадзенай велічыні вядома вялікае мноства, у залежнасці ад тых зыходных дадзеных, якія ёсць у даследчыка ў тым ці іншым выпадку.

1. Самы просты спосаб знаходжання перыметра трыкутніка выкарыстоўваецца ў тым выпадку, калі вядомыя лікавыя значэнні ўсіх трох яго бакоў (x, y, z), як следства:

P = x + y + z

2. Перыметр роўнабаковага трыкутніка можна знайсці, калі ўспомніць, што ў дадзенай фігуры ўсе бакі, зрэшты, як і ўсе куты, роўныя. Ведаючы даўжыню гэтага боку, перыметр роўнабаковага трыкутніка можна вызначыць па формуле:

P = 3x

3. У роўнабаковага трыкутніка, у адрозненне ад роўнабаковага, толькі дзве бакавыя бакі маюць адно і тое ж лікавае значэнне, таму ў гэтым выпадку ў агульным выглядзе перыметр будзе знаходзіцца наступным чынам:

P = 2x + y

4. Наступныя спосабы неабходныя ў тых выпадках, калі вядомыя лікавыя значэння не ўсіх бакоў. Напрыклад, калі ў даследаванні ёсць дадзеныя аб двух баках, а таксама вядомы кут паміж імі, то перыметр трохвугольніка можа быць знойдзены з дапамогай вызначэння трэцяга боку і вядомага кута. У гэтым выпадку гэтая трэцяя бок будзе знойдзеная па формуле:

z = 2x + 2y-2xycosβ

Зыходзячы з гэтага, перыметр трыкутніка будзе роўны:

P = x + y + 2x + (2y-2xycos β)

5. У тым выпадку, калі першапачаткова дадзена даўжыня не больш чым аднаго боку трохвугольніка і вядомыя лікавыя велічыні двух кутоў прылеглых да яе, то перыметр трыкутніка можна вылічыць, абапіраючыся на тэарэму сінусаў:

P = x + sinβ х / (sin (180 ° -β)) + sinγ x / (sin (180 ° -γ))

6. Бываюць выпадкі, калі для знаходжання перыметра трыкутніка выкарыстоўваюцца вядомыя параметры упісанай у яго акружнасці. Дадзеная формула таксама вядомая большасці яшчэ са школьнай лавы:

P = 2S / r (S - плошча акружнасці, тады як r - яе радыус).

З усяго сказанага вышэй бачна, што велічыня перыметра трыкутніка можа быць знойдзена мноствам спосабаў, зыходзячы з тых дадзеных, якімі валодае даследчык. Акрамя таго, ёсць яшчэ некалькі прыватных выпадкаў знаходжання дадзенай велічыні. Так, перыметр з'яўляецца адной з найважнейшых велічынь і характарыстык прастакутнага трыкутніка.

Як вядома, такім трохвугольнікам называюць постаць, два бакі якой ўтвараюць прамы кут. Перыметр прастакутнага трыкутніка знаходзіцца праз лікавае выраз сумы абодвух катэт і гіпатэнузы. У тым выпадку, калі даследніку вядомыя дадзеныя толькі пра двух баках, астатнюю можна вылічыць з дапамогай знакамітай тэарэмы Піфагора: z = (x2 + y2), калі вядомыя абодва катэта, або x = (z2 - y2), калі вядомая гіпатэнуза і катэт.

У тым выпадку, калі вядомая даўжыня гіпатэнузы і адзін з прылеглых у ёй кутоў, то дзве іншыя бакі знаходзяцца па формулах: х = z sinβ, y = z cosβ. У гэтым выпадку перыметр прастакутнага трыкутніка будзе роўны:

P = z (cosβ + sinβ +1)

Таксама прыватным выпадкам з'яўляецца вылічэнне перыметра правільнага (або роўнабаковага) трыкутніка, гэта значыць такой фігуры, у якой усе бакі і ўсе куты роўныя. Вылічэнне перыметра такога трохвугольніка па вядомай баку ніякай праблемы не складае, аднак, часцяком даследніку вядомыя нейкія іншыя дадзеныя. Так, калі вядомы радыус упісанай акружнасці, перыметр правільнага трохвугольніка знаходзіцца па формуле:

P = 6√3r

А калі дадзена велічыня радыусу апісанай акружнасці, перыметр правільнага трохвугольніка будзе знойдзены наступным чынам:

P = 3√3R

Формулы трэба запомніць, каб паспяхова применть на практыцы.