Выпуклыя многавугольнікі. Вызначэнне выпуклага шматкутніка. Дыяганалі выпуклага шматкутніка

Дадзеныя геаметрычныя фігуры атачаюць нас паўсюль. Выпуклыя шматкутнікі бываюць прыроднымі, напрыклад, пчаліныя соты або штучнымі (створанымі чалавекам). Гэтыя фігуры выкарыстоўваюцца ў вытворчасці розных відаў пакрыццяў, у жывапісе, архітэктуры, упрыгожваннях і г.д. Выпуклыя шматкутнікі валодаюць тым уласцівасцю, што ўсе іх пункту размяшчаюцца па адзін бок ад прамой, што праходзіць праз пару суседніх вяршыняў гэтай геаметрычнай фігуры. Існуюць і іншыя азначэнні. Выпуклым называецца той шматкутнік, які размешчаны ў адзінай полуплоскости адносна любой прамой, якая змяшчае адну з яго бакоў.

выпуклыя шматкутнікі

У курсе элементарнай геаметрыі заўсёды разглядаюцца выключна простыя многавугольнікі. Каб зразумець усе ўласцівасці такіх геаметрычных фігур неабходна разабрацца з іх прыродай. Для пачатку варта ўсвядоміць, што замкнёнай называецца любая лінія, канцы якой супадаюць. Прычым фігура, утвораная ёю, можа мець самыя розныя канфігурацыі. Шматкутнік называюць простую замкнёную ламаную лінію, у якой суседнія звёны ня размяшчаюцца на адной прамой. Яе звёны і вяршыні з'яўляюцца, адпаведна, бакамі і вяршынямі гэтай геаметрычнай фігуры. Простая ламаная не павінна мець самопересечений.

Вяршыні шматкутніка называюць суседнімі, у тым выпадку, калі яны ўяўляюць сабой канцы адной з яго бакоў. Геаметрычная фігура, у якой маецца n-е чысло вяршыняў, а значыць, і n-е колькасць бакоў, называецца n-кутнікам. Саму ламаную лінію называюць мяжой або контурам гэтай геаметрычнай фігуры. Шматкутнай плоскасцю або плоскім шматкутнік называюць канчатковую частка любой плоскасці, ім абмежаванай. Суседнімі бакамі гэтай геаметрычнай фігуры называюць адрэзкі ламанай лініі, выходныя з адной вяршыні. Яны будуць не суседнімі, калі зыходзяць іх розных вяршыняў шматкутніка.

Іншыя вызначэння выпуклых шматкутнікаў

У элементарнай геаметрыі існуе яшчэ некалькі эквівалентных па сваім значэнні азначэнняў, якія паказваюць на тое, які шматкутнік называецца выпуклым. Прычым усе гэтыя фармулёўкі ў аднолькавай ступені дакладныя. Выпуклым лічыцца той шматкутнік, у якога:

• кожны адрэзак, што злучае дзве любыя пункту ўнутры яго, цалкам ляжыць у ім;

• ўнутры яго ляжаць усе яго дыяганалі;

• любы ўнутраны кут не перавышае 180 °.

Шматкутнік заўсёды разбівае плоскасць на 2 часткі. Адна з іх - абмежаваная (яна можа быць складзена ў круг), а іншая - неабмежаваная. Першую называюць унутранай вобласцю, а другую - вонкавай вобласцю гэтай геаметрычнай фігуры. Дадзены шматкутнік з'яўляецца перасячэннем (іншымі словамі - агульнай складнікам) некалькіх полуплоскостей. Пры гэтым кожны адрэзак, які мае канцы ў кропках, якія належаць шматкутнікаў, цалкам належыць яму.

Разнавіднасці выпуклых шматкутнікаў

Вызначэнне выпуклага шматкутніка не паказвае на тое, што іх існуе мноства відаў. Прычым у кожнага з іх маюцца пэўныя крытэры. Так, выпуклыя шматкутнікі, у якіх ёсць ўнутраны кут роўны 180 °, называюцца слабовыпуклыми. Выпуклая геаметрычная фігура, што мае тры вяршыні, называецца трохвугольнікам, чатыры - чатырохкутнікам, пяць - пяцікутніка і т. Д. Кожны з выпуклых n-кутнікаў адказвае наступнага важнейшаму патрабаванню: n павінна раўняцца або быць больш 3. Кожны з трыкутнікаў з'яўляецца выпуклым. Геаметрычная фігура дадзенага тыпу, у якой усе вяршыні размяшчаюцца на адной акружнасці, называецца упісанай у акружнасць. Выпуклы шматкутнік называюць апісаным, калі ўсе яго боку каля акружнасці датыкаюцца да яе. Два шматкутніка называюць роўнымі толькі ў тым выпадку, калі пры дапамозе накладання іх можна сумясціць. Плоскім шматкутнік называюць шматкутную плоскасць (частка плоскасці), што абмежаваная гэтай геаметрычнай фігурай.

Правільныя выпуклыя шматкутнікі

Правільнымі шматкутнікамі называюць геаметрычныя фігуры з роўнымі кутамі і бакамі. Унутры іх маецца кропка 0, якая знаходзіцца на аднолькавай адлегласці ад кожнай з яго вяршыняў. Яе называюць цэнтрам гэтай геаметрычнай фігуры. Адрэзкі, якія злучаюць цэнтр з вяршынямі гэтай геаметрычнай фігуры называюць апафема, а тыя, што злучаюць кропку 0 з бакамі - радыусамі.

Правільны чатырохкутнік - квадрат. Правільны трохкутнік называюць роўнабаковага. Для такіх фігур існуе наступнае правіла: кожны кут выпуклага шматкутніка роўны 180 ° * (n-2) / n,

дзе n - лік вяршынь гэтай выпуклай геаметрычнай фігуры.

Плошчу любога правільнага шматкутніка вызначаюць па формуле:

S = р * h,

дзе p роўна палове сумы усіх бакоў дадзенага шматкутніка, а h роўна даўжыні апафема.

Ўласцівасці выпуклых шматкутнікаў

Выпуклыя шматкутнікі маюць пэўныя ўласцівасці. Так, адрэзак, які злучае любыя 2 пункту такой геаметрычнай фігуры, абавязкова размяшчаецца ў ёй. доказ:

Выкажам здагадку, што Р - дадзены выпуклы шматкутнік. Бярэм 2 адвольныя пункту, напрыклад, А, В, якія належаць Р. Паводле існуючага вызначэнню выпуклага шматкутніка гэтыя кропкі размешчаны ў адным баку ад прамой, што ўтрымлівае любы бок Р. Такім чынам, АВ таксама мае гэта ўласцівасць і ўтрымліваецца ў Р. Выпуклы шматкутнік заўсёды магчыма разбіць на некалькі трыкутнікаў абсалютна ўсімі дыяганалямі, якія праведзены з адной яго вяршыні.

Куты выпуклых геаметрычных фігур

Куты выпуклага шматкутніка - гэта куты, што ўтвораны яго бакамі. Ўнутраныя куты знаходзяцца ва ўнутранай вобласці дадзенай геаметрычнай фігуры. Кут, што утвораны яго бакамі, якія сыходзяцца ў адной вяршыні, называюць вуглом выпуклага шматкутніка. Куты, сумежныя з ўнутранымі кутамі дадзенай геаметрычнай фігуры, называюць знешнімі. Кожны кут выпуклага шматкутніка, размешчаны ўнутры яго, роўны:

180 ° - х,

дзе х - велічыня вонкавага кута. Гэтая простая формула дзейнічае ў дачыненні да любых геаметрычных фігур такога тыпу.

У агульным выпадку, для знешніх кутоў існуе наступныя правіла: кожны кут выпуклага шматкутніка роўны рознасці паміж 180 ° і велічынёй ўнутранага кута. Ён можа мець значэння ў межах ад -180 ° да 180 °. Такім чынам, калі ўнутраны кут складае 120 °, знешні будзе мець велічыню ў 60 °.

Сума кутоў выпуклых шматкутнікаў

Сума ўнутраных кутоў выпуклага шматкутніка усталёўваецца па формуле:

180 ° * (n-2),

дзе n - лік вяршынь n-кутніка.

Сума кутоў выпуклага шматкутніка вылічаецца даволі проста. Разгледзім любую такую геаметрычную фігуру. Для вызначэння сумы кутоў ўнутры выпуклага шматкутніка неабходна злучыць адну з яго вяршыняў з іншымі вяршынямі. У выніку такога дзеяння атрымліваецца (n-2) трыкутніка. Вядома, што сума кутоў любых трыкутнікаў заўсёды роўная 180 °. Паколькі іх колькасць у любым шматкутніку раўняецца (n-2), сума ўнутраных кутоў такой фігуры раўняецца 180 ° х (n-2).

Сума кутоў выпуклага шматкутніка, а менавіта любых двух ўнутраных і сумежных з імі знешніх кутоў, у дадзенай выпуклай геаметрычнай фігуры заўсёды будзе роўная 180 °. Зыходзячы з гэтага, можна вызначыць суму ўсіх яе кутоў:

180 х n.

Сума ўнутраных кутоў складае 180 ° * (n-2). Зыходзячы з гэтага, суму ўсіх знешніх кутоў дадзенай фігуры усталёўваюць па формуле:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Сума знешніх кутоў любога выпуклага шматкутніка заўсёды будзе роўная 360 ° (незалежна ад колькасці яго бакоў).

Знешні кут выпуклага шматкутніка ў агульным выпадку ўяўляецца рознасцю паміж 180 ° і велічынёй ўнутранага кута.

Іншыя ўласцівасці выпуклага шматкутніка

Акрамя асноўных уласцівасцяў дадзеных геаметрычных фігур, у іх ёсць і іншыя, якія ўзнікаюць пры маніпуляцыях з імі. Так, любы з шматкутнікаў можа быць падзелены на некалькі выпуклых n-кутнікаў. Для гэтага неабходна працягнуць кожную з яго бакоў і разрэзаць гэтую геаметрычную фігуру ўздоўж гэтых прамых ліній. Разбіць любы шматкутнік на некалькі выпуклых частак можна і такім чынам, каб вяршыні кожнага з кавалкаў супадалі з усімі яго вяршынямі. З такой геаметрычнай фігуры можна вельмі проста зрабіць трыкутнікі шляхам правядзення ўсіх дыяганаляў з адной вяршыні. Такім чынам, любы шматкутнік, у канчатковым рахунку, можна разбіць на пэўную колькасць трыкутнікаў, што аказваецца вельмі карысным пры вырашэнні розных задач, звязаных з такімі геаметрычнымі фігурамі.

Перыметр выпуклага шматкутніка

Адрэзкі ламанай лініі, званыя бакамі шматкутніка, часцей за ўсё абазначаюцца наступнымі літарамі: ab, bc, cd, de, ea. Гэта боку геаметрычнай фігуры з вяршынямі a, b, c, d, e. Сума даўжыні усіх бакоў гэтага выпуклага шматкутніка называюць яго перыметрам.

акружнасць шматкутніка

Выпуклыя шматкутнікі могуць быць ўпісанымі і апісанымі. Акружнасць, якая тычыцца усіх бакоў гэтай геаметрычнай фігуры, называецца упісанай у яе. Такі шматкутнік называюць апісаным. Цэнтр акружнасці, якая ўпісана ў шматкутнік, уяўляе сабой кропку перасячэння медыян усіх кутоў ўнутры дадзенай геаметрычнай фігуры. Плошча такога шматкутніка раўняецца:

S = p * r,

дзе r - радыус упісанай акружнасці, а p - полупериметр дадзенага шматкутніка.

Акружнасць, якая змяшчае вяршыні шматкутніка, называюць апісанай каля яго. Пры гэтым дадзеная выпуклая геаметрычная фігура называецца упісанай. Цэнтр акружнасці, якая апісана каля такога шматкутніка, уяўляе сабой кропку перасячэння так званых сярэдзінных перпендыкуляра усіх бакоў.

Дыяганалі выпуклых геаметрычных фігур

Дыяганалі выпуклага шматкутніка - гэта адрэзкі, якія злучаюць ня суседнія вяршыні. Кожная з іх ляжыць ўнутры гэтай геаметрычнай фігуры. Лік дыяганаляў такога n-кутніка усталёўваецца па формуле:

N = n (n - 3) / 2.

Лік дыяганаляў выпуклага шматкутніка гуляе важную ролю ў элементарнай геаметрыі. Лік трыкутнікаў (Да), на якія магчыма разбіць кожны выпуклы шматкутнік, вылічаецца па наступнай формуле:

Да = n - 2.

Колькасць дыяганаляў выпуклага шматкутніка заўсёды залежыць ад колькасці яго вяршыняў.

Разбіццё выпуклага шматкутніка

У некаторых выпадках для вырашэння геаметрычных задач неабходна разбіць выпуклы шматкутнік на некалькі трыкутнікаў з неперасякальнымі дыяганалямі. Гэтую праблему можна вырашыць шляхам вывядзення пэўнай формулы.

Вызначэнне задачы: назавем правільным нейкае разбіццё выпуклага n-кутніка на некалькі трыкутнікаў дыяганалямі, перасякальнымі толькі ў вяршынях гэтай геаметрычнай фігуры.

Рашэнне: Выкажам здагадку, што Р1, Р2, Р3 ..., Pn - вяршыні гэтага n-кутніка. Лік Xn - колькасць яго разбіццё. Ўважліва разгледзім атрыманую дыяганаль геаметрычнай фігуры Pi Pn. У любым з правільных разбіццё Р1 Pn належыць пэўнаму трыкутніку Р1 Pi Pn, у якога 1

Пустая і = 2 будзе адной групай правільных разбіццё, заўсёды змяшчае дыяганаль Р2 Pn. Колькасць разбіццё, якія ўваходзяць у яе, супадае з колькасцю разбіццё (n-1) -угольника Р2 Р3 Р4 ... Pn. Іншымі словамі, яно раўняецца Xn-1.

Калі І = 3, то гэтая іншая група разбіццё будзе заўсёды ўтрымліваць дыяганалі Р3 Р1 і Р3 Pn. Пры гэтым колькасць правільных разбіццё, што ўтрымліваюцца ў дадзенай групе, будзе супадаць з лікам разбіццё (n-2) -угольника Р3 Р4 ... Pn. Іншымі словамі, яно будзе раўняцца Xn-2.

Пустая і = 4, тады сярод трыкутнікаў правільнае разбіццё абавязкова будзе ўтрымліваць трохкутнік Р1 Р4 Pn, да якога будзе прымыкаць чатырохкутнік Р1 Р2 Р3 Р4, (n-3) -угольник Р4 Р5 ... Pn. Колькасць правільных разбіццё такога чатырохвугольніка раўняецца Х4, а лік разбіццё (n-3) -угольника раўняецца Xn-3. Зыходзячы з усяго выкладзенага, можна сказаць, што поўнае колькасць правільных разбіццё, якія ўтрымліваюцца ў дадзенай групе, складае Xn-3 Х4. Іншыя групы, у якіх І = 4, 5, 6, 7 ... будуць утрымліваць Xn-4 Х5, Xn-5 Х6, Xn-6 Х7 ... правільных разбіццё.

Пустая і = n-2, то колькасць правільных разбіццё ў дадзенай групе будзе супадаць з лікам разбіццё ў групе, у якой i = 2 (іншымі словамі, раўняецца Xn-1).

Бо Х1 = Х2 = 0, Х3 = 1, Х4 = 2 ..., то лік ўсіх разбіцця выпуклага шматкутніка роўна:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 Х4 + Xn-4 Х5 + ... + Х 5 Xn-4 + Х4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

прыклад:

Х5 = Х4 + Х3 + Х4 = 5

Х6 = Х5 + Х4 + Х4 + Х5 = 14

Х7 = Х6 + Х5 + Х4 * Х4 + Х5 + Х6 = 42

Х8 = Х7 + Х6 + Х5 * Х4 + Х4 * Х5 + Х6 + Х7 = 132

Колькасць правільных разбіццё, якія перасякаюць ўнутры адну дыяганаль

Пры праверцы прыватных выпадкаў, можна прыйсці да здагадкі, што колькасць дыяганаляў выпуклых n-кутнікаў раўняецца твору ўсіх разбіцця гэтай фігуры на (n-3).

Доказ дадзенага здагадкі: прадставім, што P1n = Xn * (n-3), тады любы n-кутнік магчыма разбіць на (n-2) -треугольников. Пры гэтым з іх можа быць складзены (n-3) -четырехугольник. Разам з гэтым, у кожнага чатырохвугольніка будзе дыяганаль. Паколькі ў гэтай выпуклай геаметрычнай фігуры могуць быць праведзены дзве дыяганалі, гэта значыць, што і ў любых (n-3) -четырехугольниках магчыма правесці дадатковыя дыяганалі (n-3). Зыходзячы з гэтага, можна зрабіць выснову, што ў любым правільным разбіцці маецца магчымасць правесці (n-3) -диагонали, якія адказваюць умовам гэтай задачы.

Плошчу выпуклых шматкутнікаў

Нярэдка пры вырашэнні розных задач элементарнай геаметрыі з'яўляецца неабходнасць вызначыць плошчу выпуклага шматкутніка. Выкажам здагадку, што (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n ўяўляе сабой паслядоўнасць каардынатаў ўсіх суседніх вяршыняў шматкутніка, які не мае самопересечений. У гэтым выпадку яго плошча вылічаецца па такой формуле:

S = ½ (Σ _(X i + _X i _{+ 1) (Y} i + _Y i _{+ 1)),}

дзе (Х _1, Y ₁₎ = _(X n _{+1, Y} n _{+ 1).}