Вы не забыліся, як вырашаць няпоўнае квадратнае раўнанне?

Як вырашаць няпоўнае квадратнае раўнанне? Вядома, што яно з'яўляецца прыватным варыянтам роўнасці ах ² + ув + с = о, дзе а, ў і з - рэчавыя каэфіцыенты пры невядомым х, і дзе а ≠ о, а ў і з будуць нулямі - адначасова або паасобку. Напрыклад, з = о, у ≠ аб або наадварот. Мы амаль ўспомнілі вызначэнне квадратнага ўраўнення.

Удакладнім

Трехчлен другой ступені роўны нулю. Першы яго каэфіцыент а ≠ о, у і з могуць прымаць любыя значэння. Значэнне зменнай х тады будзе коранем ўраўненні, калі пры падстаноўцы паверне яго дакладнае лікавае роўнасць. Спынімся на рэчыўных каранях, хоць рашэннямі ўраўненні могуць быць і комплексныя чысла. Поўным прынята называць раўнанне, у якім ні адзін з каэфіцыентаў ня роўны о, а ≠ о, у ≠ о, з ≠ а.
Вырашым прыклад. 2х ² -9х-5 = о, знаходзім
D = 81 + 40 = 121,
D станоўчы, значыць карані маюцца, х ₁ = (9 + √121): 4 = 5, а другі х ₂ = (9-√121): 4 = -о, 5. Праверка дапаможа пераканацца, што яны веруючыя.

Вось паэтапнае рашэнне квадратнага ўраўнення

Праз дискриминант можна вырашыць любое раўнанне, у левай частцы якога вядомы квадратны трехчлен пры а ≠ а. У нашым прыкладзе. 2х ² -9х-5 = 0 (ах ² + ув + с = о)

• Знаходзім спачатку дискриминант D па вядомай формуле ў ² -4ас.
• Правяраем, якім будзе значэнне D: у нас больш за нуль, бывае роўным нулю або менш.
• Ведаем, што калі D> о, квадратнае раўнанне мае ўсяго 2 розных сапраўдных кораня, іх абазначаюць х ₁ звычайна і х _2,
  вось як вылічылі:
  х ₁ = (-у + √D) :( 2а), а другі: х ₂ = (-у-√D) :( 2а).
• D = o - адзін корань, або, кажуць, два роўных:
  х ₁ роўна х ₂ і роўна -у: (2а).
• І нарэшце, D

Разгледзім, якія бываюць няпоўныя ўраўненні другой ступені

1. ах ² + ув = o. Свабодны член, каэфіцыент с пры х ^0, тут роўны нулю, у ≠ o.
   Як вырашаць няпоўнае квадратнае раўнанне такога выгляду? Выносім х за дужкі. Ўспамінаем, калі твор двух множнікаў роўна нулю.
   x (ax + b) = o, гэта можа быць, калі х = о ці калі ax + b = o.
   Вырашыўшы 2-е лінейнае раўнанне, маем x = -у / а.
   У выніку маем карані х ₁ = 0, па вылічэннях x ₂ = -b / _a.
2. Цяпер каэфіцыент пры х роўны о, а з не роўны (≠) кс.
   x ² + с = а. Перанясем з у правую частку роўнасці, атрымаем x ² = -с. Гэта раўнанне толькі тады мае рэчавыя карані, калі -з станоўчае лік (з <о),
   х ₁ тады роўны √ (-с), адпаведна х ₂ - -√ (-с). У адваротным выпадку раўнанне зусім не мае каранёў.
3. Апошні варыянт: b = c = o, то ёсць ах ² = а. Натуральна, такое прасценькае раўнанне мае адзін корань, x = а.

прыватныя выпадкі

Як вырашаць няпоўнае квадратнае раўнанне разгледзелі, а цяпер возмем любыя віды.

• У поўным квадратным раўнанні другі каэфіцыент пры х - цотная колькасць.
  Хай k = o, 5b. Маем формулы для вылічэння дискриминанта і каранёў.
  D / 4 = k ² - ас, карані вылічаюцца так х _1,2 = (-k ± √ (D / 4)) / а пры D> o.
  x = -k / a пры D = o.
  Няма каранёў пры D
• Бываюць прыведзеныя квадратныя ўраўненні, калі каэфіцыент пры х у квадраце роўны 1, іх прынята запісваць x ² + рх + q = o. На іх распаўсюджваюцца ўсе вышэйпрыведзеныя формулы, вылічэнні ж некалькі прасцей.
  Прыклад, х ² -4х-9 = 0. Вылічаем D: 2 ² +9, D = 13.
  х ₁ = 2 + √13, х ₂ = 2-√13.
• Акрамя таго, да прыведзеных лёгка ўжываецца тэарэма Віета. У ёй гаворыцца, што сума каранёў ўраўненні роўная -p, другому каэфіцыенту з мінусам (маецца на ўвазе супрацьлеглы знак), а твор гэтых жа каранёў будзе роўна q, свабоднаму сябру. Праверце, як лёгка можна было б вусна вызначыць карані гэтага раўнання. Для неприведенных (пры ўсіх каэфіцыентах, ня роўных нулю) гэтая тэарэма дастасоўная так: сума x ₁ + x ₂ роўная -у / а, твор х ₁ · х ₂ роўна с / a.

Сума вольнага члена з і першага каэфіцыента а роўная каэфіцыенту b. У гэтай сітуацыі раўнанне мае не менш чым адзін корань (лёгка даказваецца), першы абавязкова роўны -1, а другі -з / а, калі ён існуе. Як вырашаць няпоўнае квадратнае раўнанне, можна праверыць самастойна. Прасцей простага. Каэфіцыенты могуць знаходзіцца ў некаторых суадносінах паміж сабой

• x ² + x = o, 7х ² -7 = o.
• Сума ўсіх каэфіцыентаў роўная кс.
  Карані ў такога ўраўненні - 1 і з / а. Прыклад, 2х ² -15х + 13 = o.
  x ₁ = 1, х ₂ = 13/2.

Існуе шэраг іншых спосабаў вырашэння розныя абставіны другой ступені. Вось, напрыклад, метад выдзялення з дадзенага полинома поўнага квадрата. Графічных спосабаў некалькі. Калі часта маеш справу з такімі прыкладамі, навучышся «пстрыкаць» іх, як семечкі, бо ўсе спосабы прыходзяць на розум аўтаматычна.