Як выводзіцца вытворная косінуса

Вытворная косінуса знаходзіцца па аналогіі з вытворнай сінуса, аснова доказы - вызначэнне мяжы функцыі. Можна скарыстацца іншым спосабам, выкарыстоўваючы трыганаметрычныя формулы прывядзення для косінуса і сінуса кутоў. Выказаць адну функцыю праз іншую - косінус праз сінус, і продифференцировать сінус са складаным аргументам.

Разгледзім першы прыклад высновы формулы (Cos (х)) '

Даем нікчэмна малое прырашчэнне Δх аргументу х функцыі у = Cos (х). Пры новым значэнні аргументу х + Δх атрымліваем новае значэнне функцыі Cos (х + Δх). Тады прырашчэнне функцыі Δу будзе роўна Cos (х + Δx) -Cos (x).
Стаўленне ж прырашчэння функцыі да Δх будзе такім: (Cos (х + Δx) -Cos (x)) / Δх. Правядзем тоесныя пераўтварэнні ў лічніку атрыманай дробу. Успомнім формулу рознасці косінус кутоў, вынікам будзе твор -2Sin (Δх / 2) памножыць на Sin (х + Δх / 2). Знаходзім мяжа прыватнага lim гэтага твора на Δх пры Δх, якія імкнуцца да нуля. Вядома, што першы (яго называюць выдатным) мяжа lim (Sin (Δх / 2) / (Δх / 2)) роўны 1, а мяжа -Sin (х + Δх / 2) роўны -Sin (x) пры Δx, якія імкнуцца да нуля.
Запішам вынік: вытворная (Cos (х)) 'роўная - Sin (х).

Некаторым больш падабаецца другі спосаб вываду той жа формулы

З курсу трыганаметрыі вядома: Cos (х) роўна Sin (0,5 · Π-х), аналагічна Sin (х) роўна Cos (0,5 · Π-x). Тады дифференцируем складаную функцыю - сінус дадатковага вугла (замест косінуса ікс).
Атрымаем твор Cos (0,5 · Π-х) · (0,5 · Π-х) ', таму што вытворная сінуса х роўная косінус х. Звяртаемся да другой формуле Sin (х) = Cos (0,5 · Π-x) замены косінуса на сінус, ўлічваем, што (0,5 · Π-х) '= -1. Цяпер атрымліваем -Sin (x).
Такім чынам, знойдзеная вытворная косінуса, у '= -Sin (х) для функцыі у = Cos (х).

Вытворная косінуса ў квадраце

Часта які выкарыстоўваецца прыклад, дзе ўжываецца вытворная косінуса. Функцыя y = Cos ² (x) складаная. Знаходзім спачатку дыферэнцыял спаважнаю функцыі з паказчыкам 2, гэта будзе 2 · Cos (x), затым памнажаем яго на вытворную (Cos (x)) ', якая роўная -Sin (х). Атрымліваем y '= -2 · Cos (х) · Sin (x). Калі выкарыстоўваецца і ў дачыненні формулу Sin (2 · х), сінуса падвойнага кута, атрымаем канчатковы спрошчаны
адказ y '= -Sin (2 · х)

гіпербалічныя функцыі

Прымяняюцца пры вывучэнні шматлікіх тэхнічных дысцыплін: у матэматыцы, напрыклад, палягчаюць вылічэнні інтэгралаў, рашэнне дыферэнцыяльных раўнанняў. Выяўляюцца яны праз трыганаметрычныя функцыі з ўяўным аргументам, так, гіпербалічны косінус ch (х) = Cos (i · х), дзе i - уяўная адзінка, гіпербалічны сінус sh (x) = Sin (i · x).
Вытворная гіпербалічнага косінуса вылічаецца досыць проста.
Разгледзім функцыю у = ^(e x + e ^-x) / 2, гэта і ёсць гіпербалічны косінус ch (х). Выкарыстоўваем правіла знаходжання вытворнай сумы двух выразаў, правіла вынасу пастаяннага множніка (Const) за знак вытворнай. Другі складнік 0,5 · е ^-х - складаная функцыя (яе вытворная роўная -0,5 · е ^-х), 0,5 · е ^х - першае складнік. (ch (х)) '= ((e ^х + e ^{- x)} / 2)' можна запісаць па іншаму: (0,5 · e ^х + 0,5 · е ^{- х)} '= 0,5 · e ^х -0,5 · e ^{- х,} таму што вытворная (e ^{- x)} 'роўная -1, умнноженная на e ^{- x.} Атрымалася рознасць, а гэта значыць гіпербалічны сінус sh (x).
Выснову: (ch (х)) '= sh (x).
Рассмитрим на прыкладзе, як вылічыць вытворную функцыі у = ch (x ³ +1).
Па правілу дыферэнцыявання гіпербалічнага косінуса са складаным аргументам у '= sh (x ³ +1) · (x ³ +1)', дзе (x ³ +1) '= 3 · x ² + 0.
Адказ: вытворная дадзенай функцыі роўная 3 · х ² · sh (х ³ +1).

Вытворныя разгледжаных функцый у = ch (х) і y = Cos (х) таблічныя

Пры вырашэнні прыкладаў няма неабходнасці кожны раз дыферэнцаваць іх па прапанаванай схеме, досыць выкарыстоўваць выснову.
Прыклад. Продифференцировать функцыю у = Cos (x) + Cos ² (-x) -Ch (5 · х).
Лёгка вылічыць (скарыстаемся таблічных дадзенымі), у '= -Sin (x) + Sin (2 · х) -5 · Sh (5 · х).