Асноўныя правілы дыферэнцыявання, якія прымяняюцца ў матэматыцы

Для пачатку варта ўспомніць пра тое, што такое дыферэнцыял і які матэматычны сэнс ён нясе.

Дыферэнцыялам функцыі называецца твор вытворнай функцыі ад аргументу на дыферэнцыял самага аргументу. Матэматычна дадзенае паняцце можна запісаць, як выраз: dy = y '* dx.

У сваю чаргу, па азначэнні вытворнай функцыі справядліва роўнасць y '= lim dx-0 (dy / dx), а па вызначэнні мяжы - выраз dy / dx = x' + α, дзе параметрам α з'яўляецца бясконца малая матэматычная велічыня.

Такім чынам, абедзве часткі выказвання варта памножыць на dx, што ў выніку дае dy = y '* dx + α * dx, дзе dx - гэта бясконца малое змена аргументу, (α * dx) - велічыня, якой можна занядбаць, тады dy - прырашчэнне функцыі, а (y * dx) - галоўная частка прырашчэння або дыферэнцыял.

Дыферэнцыялам функцыі называецца твор вытворнай функцыі на дыферэнцыял аргументу.

Цяпер варта разгледзець асноўныя правілы дыферэнцыявання, якія даволі часта выкарыстоўваюць у матэматычным аналізе.

Тэарэма. Вытворная сумы роўная суме вытворных, атрыманых ад складнікаў: (а + с) '= а' + з '.

Аналагічным чынам гэтае правіла будзе дзейнічаць і для знаходжання вытворнай рознасці.
Следствам даного правілы дыферэнцыявання з'яўляецца сцвярджэнне аб тым, што вытворная ад некаторага колькасці складнікаў роўная суме вытворных, атрыманых ад дадзеных складнікаў.

Напрыклад, калі неабходна знайсці вытворную ад выразы (а + з-к) ', тады вынікам будзе выраз а' + с'-к '.

Тэарэма. Вытворная творы матэматычных функцый, дыферэнцыруемых ў пункце, роўная суме, якая складаецца з твора першага множніка на вытворную другога і творы другога множніка на вытворную першага.

Матэматычна тэарэма будзе запісана наступным чынам: (a * c) '= а * з' + а '* с. Следствам тэарэмы з'яўляецца выснову аб тым, што пастаянны множнік ў вытворнай творы можна выносіць за вытворную функцыі.

У выглядзе алгебраічнага выраз дадзенае правіла будзе запісана наступным чынам: (а * с) '= а * з', дзе а = const.

Напрыклад, калі неабходна знайсці вытворную выразы (2а3) ', то вынікам будзе адказ: 2 * (а3)' = 2 * 3 * а2 = 6 * а2.

Тэарэма. Вытворная адносіны функцый роўная стаўленню паміж рознасцю вытворнай лічнік, памножанай на назоўнік, і лічнік, множання на вытворную назоўніка і квадрата назоўніка.

Матэматычна тэарэма будзе запісана наступным чынам: (a / c) '= (а' * з-а * з ') / с ^2.

У заключэнне неабходна разгледзець правілы дыферэнцыявання складаных функцый.

Тэарэма. Хай зададзена фукция у = ф (х), дзе х = с (т), тады функцыя ў, у адносінах да зменнай т, называецца складанай.

Такім чынам, у матэматычным аналізе вытворная складанай функцыі трактуецца, як вытворная самой функцыі, памножаная на вытворную яе подфункции. Для зручнасці правілы дыферэнцыявання складаных функцый прадстаўляюць у выглядзе табліцы.

Пры рэгулярным выкарыстанні дадзенай табліцы вытворныя лёгка запамінаюцца. Астатнія вытворныя складаных функцый можна знайсці, калі ўжыць правілы дыферэнцыявання функцый, якія былі выкладзены ў тэарэмах і следствах да іх.