Задача па тэорыі верагоднасці з рашэннем. Тэорыя верагоднасці для чайнікаў

Курс матэматыкі рыхтуе школьнікам масу сюрпрызаў, адзін з якіх - гэта задача па тэорыі верагоднасці. З рашэннем падобных заданняў у навучэнцаў ўзнікае праблема практычна ў ста працэнтах выпадкаў. Каб разумець і разбірацца ў гэтым пытанні, неабходна ведаць асноўныя правілы, аксіёмы, вызначэння. Для разумення тэксту ў кнізе, трэба ведаць усе скарачэнні. Ўсяго гэтага мы і прапануем навучыцца.

Навука і яе прымяненне

Так як мы прапануем паскораны курс «тэорыя верагоднасці для чайнікаў», то спачатку неабходна ўвесці асноўныя паняцці і літарныя скарачэнні. Для пачатку вызначымся з самім паняццем «тэорыя верагоднасці». Што ж гэта за навука і для чаго яна патрэбна? Тэорыя верагоднасці - гэта адзін з раздзелаў матэматыкі, які вывучае выпадковыя з'явы і велічыні. Гэтак жа яна разглядае заканамернасці, ўласцівасці і аперацыі, што выконваюцца з гэтымі выпадковымі велічынямі. Для чаго яна патрэбна? Шырокае распаўсюджванне навука атрымала ў вывучэнні прыродных з'яў. Любыя прыродныя і фізічныя працэсы не абыходзяцца без прысутнасці выпадковасці. Нават калі падчас вопыту былі максімальна дакладна зарэгістраваныя вынікі, пры паўторы таго ж выпрабаванні, вынік з вялікай верагоднасцю не будзе такім жа.

Прыклады задач па тэорыі верагоднасці мы абавязкова разгледзім, вы самі зможаце ў гэтым пераканацца. Зыход залежыць ад мноства розных фактараў, якія практычна немагчыма ўлічыць або зарэгістраваць, але тым не менш яны аказваюць найвелізарны ўплыў на зыход вопыту. Яркімі прыкладамі могуць служыць задачы вызначэння траекторыі руху планет або вызначэнне прагнозу надвор'я, верагоднасць сустрэць знаёмага чалавека падчас шляху на працу і вызначэнне вышыні скачка спартсмена. Гэтак жа тэорыя верагоднасці аказвае вялікую дапамогу брокерам на фондавых біржах. Задача па тэорыі верагоднасці, з рашэннем якой раней ўзнікала шмат праблем, стане для вас існай дробяззю пасля трох-чатырох прыкладаў, прыведзеных ніжэй.

падзеі

Як ужо гаварылася раней, навука вывучае падзеі. Тэорыя верагоднасцяў, прыклады рашэння задач мы разгледзім крыху пазней, вывучае толькі адзін від - выпадковыя. Але тым не менш неабходна ведаць, што падзеі могуць быць трох відаў:

• Немагчымыя.
• Дакладныя.
• Выпадковыя.

Прапануем трохі агаварыць кожны з іх. Немагчымае падзея ніколі не адбудзецца, ні пры якіх умовах. Прыкладамі могуць служыць: замярзанне вады пры плюсавай тэмпературы, выцягванне кубіка з мяшка з шарамі.

Пэўнае падзея адбываецца заўсёды са стоадсоткавай гарантыяй, калі выкананы ўсе ўмовы. Напрыклад: вы атрымалі заработную плату за праведзеную працу, атрымалі дыплом аб вышэйшай прафесійнай адукацыі, калі добрасумленна вучыліся, здалі экзамены і абаранілі дыплом і гэтак далей.

Са выпадковымі падзеямі ўсё крыху больш складана: у ходзе вопыту яно можа адбыцца ці не, напрыклад, выцягнуць туз з картачнай калоды, зрабіўшы не больш за тры спробаў. Вынік можна атрымаць як з першай спробы, так і, наогул, не атрымаць. Менавіта верагоднасць паходжання падзеі і вывучае навука.

верагоднасць

Гэта ў агульным сэнсе адзнака магчымасці ўдалага зыходу вопыту, пры якім надыходзіць падзею. Верагоднасць ацэньваецца на якасным узроўні, асабліва калі колькасная адзнака немагчымая або цяжкая. Задача па тэорыі верагоднасці з рашэннем, дакладней з ацэнкай верагоднасці падзеі, мае на ўвазе знаходжанне той самай магчымай долі шчаснага зыходу. Верагоднасць у матэматыцы - гэта лічбавая характарыстыкі падзеі. Яна прымае значэнні ад нуля да адзінкі, пазначаецца літарай Р. Калі Р раўняецца нулю, то падзея адбыцца не можа, калі адзінцы, то падзея адбудзецца са стоадсоткавай верагоднасцю. Чым больш Р набліжаецца да адзінкі, тым мацней верагоднасць шчаснага зыходу, і наадварот, калі блізка да нуля, то і падзея адбудзецца з малой верагоднасцю.

скарачэння

Задача па тэорыі верагоднасці, з рашэннем якой вы неўзабаве сутыкнецеся, можа змяшчаць наступныя скарачэнні:

• !;
• {};
• N;
• Р і Р (Х);
• А, У, З і т. Д;
• n;
• m.

Магчымыя і некаторыя іншыя: па меры неабходнасці будуць уносіцца дадатковыя тлумачэнні. Прапануем, для пачатку, патлумачыць прадстаўленыя вышэй скарачэнні. Першым у нашым спісе сустракаецца фактарыяла. Для таго каб было зразумела, прывядзем прыклады: 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 ці 3! = 1 * 2 * 3. Далей, у фігурных дужках пішуць зададзеныя мноства, напрыклад: {1; 2; 3; 4; ..; n} або {10; 140; 400; 562}. Наступнае абазначэнне - гэта мноства натуральных лікаў, даволі часта сустракаецца ў заданнях па тэорыі верагоднасці. Як ужо гаварылася раней, Р - гэта верагоднасць, а Р (Х) - гэта верагоднасць паходжання падзеі Х. Вялікімі літарамі лацінскага алфавіту абазначаюцца падзеі, напрыклад: А - трапіўся белы шар, В - сіні, С - чырвоны або адпаведна,,. Маленькая літара n - гэта колькасць усіх магчымых зыходаў, а m - колькасць шчасных. Адсюль і атрымліваем правіла знаходжання класічнай верагоднасці ў элементарных задачах: Р = m / n. Тэорыя верагоднасці «для чайнікаў», напэўна, і абмяжоўваецца дадзенымі ведамі. Зараз для замацавання пераходзім да вырашэння.

Задача 1. камбінаторыка

Студэнцкая група налічвае трыццаць чалавек, з якіх неабходна выбраць старасту, яго намесніка і прафоргам. Неабходна знайсці колькасць спосабаў зрабіць дадзенае дзеянне. Падобнае заданне можа сустрэцца на ЕГЭ. Тэорыя верагоднасці, рашэнне задач якой мы зараз разглядаем, можа ўключаць задачы з курсу камбінаторыкі, знаходжанне класічнай верагоднасці, геаметрычнай і задачы на асноўныя формулы. У дадзеным прыкладзе мы вырашаем заданне з курсу камбінаторыкі. Пераходзім да вырашэння. Гэта заданне найпростае:

1. n1 = 30 - магчымых старастаў студэнцкай групы;
2. n2 = 29 - тыя, хто могуць заняць пасаду намесніка;
3. n3 = 28 чалавек прэтэндуе на пасаду прафоргам.

Усё, што нам застаецца зрабіць, гэта знайсці магчымая колькасць варыянтаў, то ёсць перамнажаць ўсе паказчыкі. У выніку мы атрымліваем: 30 * 29 * 28 = 24360.

Гэта і будзе адказам на пастаўленае пытанне.

Задача 2. Перастаноўка

На канферэнцыі выступаюць 6 удзельнікаў, парадак вызначаецца жараб'ёўкай. Нам трэба знайсці колькасць магчымых варыянтаў лёсавання. У дадзеным прыкладзе, мы разглядаем перастаноўку з шасці элементаў, гэта значыць нам трэба знайсці 6!

У пункце скарачэнняў мы ўжо згадвалі, што гэта такое і як вылічаецца. Разам атрымліваецца, што існуе 720 варыянтаў лёсавання. На першы погляд цяжкае заданне мае цалкам кароткае і простае рашэнне. Гэта і ёсць заданні, якія разглядае тэорыя верагоднасці. Як вырашаць задачы больш высокага ўзроўню, мы разгледзім у наступных прыкладах.

задача 3

Групу студэнтаў з дваццаці пяці чалавек неабходна разбіць на тры падгрупы па шэсць, дзевяць і дзесяць чалавек. Мы маем: n = 25, k = 3, n1 = 6, n2 = 9, n3 = 10. Засталося падставіць значэння ў патрэбную формулу, мы атрымліваем: N25 (6,9,10). Пасля нескладаных вылічэнняў мы атрымліваем адказ - 16 360 143 800. Калі ў заданні не гаворыцца пра тое, што неабходна атрымаць лікавае рашэнне, то можна даць яго ў выглядзе факториалов.

задача 4

Тры чалавекі загадалі лікі ад аднаго да дзесяці. Знайдзіце верагоднасць таго, што ў кагосьці колькасці супадуць. Спачатку мы павінны даведацца лік усіх зыходаў - у нашым выпадку гэта тысяча, то ёсць дзесяць у трэцяй ступені. Цяпер знойдзем колькасць варыянтаў, калі ўсе загадалі розныя колькасці, для гэтага перамнажаюцца дзесяць, дзевяць і восем. Адкуль узяліся гэтыя лікі? Першы загадвае лік, у яго ёсць дзесяць варыянтаў, другі мае ўжо дзевяць, а трэцяму трэба выбіраць з васьмі пакінутых, такім чынам атрымліваем 720 магчымых варыянтаў. Як ужо мы палічылі раней, усяго варыянтаў 1000, а без паўтораў 720, такім чынам, нас цікавяць тыя, што засталіся 280. Цяпер нам патрэбная формула знаходжання класічнай верагоднасці: Р =. Мы атрымалі адказ: 0,28.