Гісторыя развіцця колькасці. Развіццё паняцця колькасці

Развіццё ўяўленняў пра лік складае важную частку нашай гісторыі. Яно з'яўляецца адным з асноўных матэматычных паняццяў, якое дазваляе выказаць вынікі вымярэння або рахунку. Зыходным для мноства матэматычных тэорый служыць паняцце ліку. Яно прымяняецца таксама ў механіцы, фізіцы, хіміі, астраноміі і мностве іншых навук. Акрамя таго, у паўсядзённым жыцці мы пастаянна карыстаемся лікамі.

з'яўленне лічбаў

Паслядоўнікі вучэнні Піфагора лічылі, што лікі ўтрымліваюць у сабе містычную сутнасць рэчаў. Гэтыя матэматычныя абстракцыі кіруюць светам, усталёўваючы парадак у ім. Піфагарэйцы меркавалі, што ўсе існуючыя ў свеце заканамернасці можна выказаць з дапамогай лікаў. Менавіта з Піфагора тэорыя развіцця лікаў стала цікавіць мноства навукоўцаў. Сімвалы гэтыя лічыліся асновай матэрыяльнага свету, а не проста выразамі некаторага заканамернага парадку.

Гісторыя развіцця колькасці і рахункі пачалася з таго, што быў створаны практычны кошт прадметаў, а таксама вымярэння аб'ёмаў, паверхняў і ліній.

Паступова фармавалася паняцце аб натуральных ліках. Гэты працэс ўскладняецца тым, што першабытны чалавек не ўмеў аддзяляць ад канкрэтнага прадстаўлення абстрактнае. Лік у выніку гэтага заставаўся доўгі час толькі рэчыўным. Выкарыстоўваліся паметкі, каменьчыкі, пальцы і т. П. Ужывалі для запамінання яго вынікаў вузельчыкі, засечкі і пр. Пасля вынаходкі пісьменства гісторыя развіцця колькасці была адзначана тым, што пачалі выкарыстоўваць літары, а таксама асаблівыя значкі, якія ўжываліся для скарочанага малюнка на пісьме вялікіх лікаў . Звычайна прайграваўся пры такім кадаванні прынцып нумарацыі, аналагічны які выкарыстоўваўся ў мове.

Пазней з'явілася ідэя лічыць дзесяткамі, а не толькі адзінкамі. У 100 розных індаеўрапейскіх мовах назвы лікаў ад двух да дзесяці падобныя, як і назвы дзясяткаў. Такім чынам, вельмі даўно з'явілася паняцце абстрактнага колькасці, яшчэ да таго, як мовы гэтыя былі падзеленыя.

Рахунак па пальцах першапачаткова быў шырока распаўсюджаны, і гэта тлумачыць тое, што ў большасці народаў пры адукацыі лічэбнікаў асаблівае становішча займае сімвал, які пазначае 10. Дзесятковы сістэма злічэння адбываецца менавіта адсюль. Хоць існуюць і выключэнні. Напрыклад, 80 у перакладзе з французскай мовы - "чатыры дваццаткі", а 90 - "чатыры дваццаткі плюс дзесяць". Ужыванне гэта ўзыходзіць да рахунку па пальцах ног і рук. Ўладкованыя аналагічна лічэбнікі абхазскага, асяцінскага і дацкага моў.

У грузінскай мове кошт дваццаткамі яшчэ больш выразна. Ацтэкі і шумеры лічылі першапачаткова пяцёркамі. Існуюць таксама і больш экзатычныя варыянты, якімі адзначана гісторыя развіцця колькасці. Напрыклад, у навуковых разліках вавіланяне ўжывалі шестидесятеричную сістэму. У так званых "Унарный" сістэмах лік утвараецца з дапамогай паўтарэння знака, сімвалізуючага адзінку. Старажытнымі людзьмі такі спосаб ўжываўся прыкладна 10-11 тыс. Гадоў да н. э.

Існуюць таксама непозиционные сістэмы, у якіх колькасныя значэння выкарыстоўваюцца для запісу сімвалаў не залежаць ад іх месца ў кодзе колькасці. Выкарыстоўваецца складанне лічбаў.

старажытнаегіпецкія колькасці

Веданне матэматыкі Старажытнага Егіпта заснавана сёння на двух папірус, якія датуюцца прыблізна 1700 годам да н. э. Матэматычныя звесткі, выказаныя ў іх, адносяцца да больш старажытным перыяду, каля 3500 года да н. э. Егіпцяне гэтую навуку выкарыстоўвалі для таго, каб вылічаць вага розных тэл, аб'ёмы збожжасховішчаў і плошчы пасеваў, памеры падаткаў, а таксама неабходнае для ўзвядзення збудаванняў колькасць камянёў. Аднак асноўнай вобласцю прымянення матэматыкі была астраномія, звязаныя з календаром разлікі. Каляндар неабходны быў для вызначэння дат розных рэлігійных святаў, а таксама прадказанні разліваў Ніла.

Пісьменнасць ў Старажытным Егіпце была заснавана на іерогліфах. У той перыяд сістэма злічэння саступала вавилонянской. Карысталіся егіпцяне непозиционной дзесятковай сістэмай, у якой колькасцю вертыкальных чорт пазначаліся лікі ад 1 да 9. Індывідуальныя сімвалы ўводзіліся для ступеняў дзесяці. Гісторыя развіцця лікі ў Старажытным Егіпце працягнулася наступным чынам. З узнікненнем папірусу было ўведзена иератическое ліст (гэта значыць хуткапіс). Спецыяльны сімвал выкарыстоўваўся ў ім для абазначэння лікаў ад 1 да 9, а таксама кратных 10, 100 і т. Д. Развіццё рацыянальных лікаў у той час адбывалася павольна. Яны запісваліся, як сума дробаў з роўным адзінцы лічніку.

Чысла ў Старажытнай Грэцыі

На выкарыстанні розных літар алфавіту была заснавана грэцкая сістэма злічэння. Гісторыя натуральных лікаў у гэтай краіне пазначаны тым, што ўжываў з 6-3 стагоддзяў да н. э. Атычная сістэма для абазначэння адзінкі ўжывала вертыкальную рысу, а 5, 10, 100 і т. д. пісаліся з дапамогай пачатковых літар іх назваў на грэцкай мове. У іанічнай сістэме, больш позняй, выкарыстоўваліся для абазначэння лікаў 24 дзеючыя літары алфавіту, а таксама 3 архаічныя. Як першыя 9 лікаў (ад 1 да 9) пазначаліся кратныя 1000 да 9000, аднак перад літарай ставілася пры гэтым вертыкальная рыса. "М" пазначаліся дзясяткі тысяч (ад грэцкага слова "мириои"). Пасля яе вынікала лік, на якое трэба было памножыць 10000.

У Грэцыі ў 3 стагоддзі да н. э. паўстала лічбавая сістэма, у якой уласны знак алфавіту адпавядаў кожнай лічбе. Грэкі, пачынаючы з 6 стагоддзя, у якасці лічбаў сталі выкарыстоўваць першыя дзесяць знакаў свайго алфавіту. Менавіта ў гэтай краіне не толькі актыўна развівалася гісторыя натуральных лікаў, але і зарадзілася матэматыка ў сучасным яе разуменні. У іншых дзяржавах таго часу яна ўжывалася альбо для звычайных патрэб, альбо для розных магічных рытуалаў, з дапамогай якіх высвятлялі волю багоў (Нумералогія, астралогія і т. П.).

рымская нумарацыя

У Старажытным Рыме выкарыстоўвалася нумарацыя, якая пад імем рымскай захавалася і да сённяшніх дзён. Мы яе ўжываем для абазначэння юбілейных дат, стагоддзяў, найменні канферэнцый і з'ездаў, нумарацыі строфаў верша або раздзелаў кнігі. З дапамогай паўтарэння лічбаў 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, якія пазначаліся ў іх, адпаведна, як I, V, X, L, C, D, M запісваюцца ўсе цэлыя лікі. Калі вялікая лічба знаходзіцца перад меншай, яны сумуюцца, калі ж перад большай варта меншая, то апошняя адымаецца з яе. Адну і тую ж лічбу нельга ставіць больш за тры разы. Доўгі час краіны Заходняй Еўропы карысталіся ў якасці асноўнай рымскай нумарацыяй.

пазіцыйныя сістэмы

Гэта такія сістэмы, у якіх колькасныя значэння сімвалаў залежаць ад іх месца ў кодзе колькасці. Асноўныя іх вартасці - прастата выканання розных арыфметычных аперацый, а таксама невялікая колькасць сімвалаў, неабходных для запісу лікаў.

Досыць шмат існуе такіх сістэм. Напрыклад, двайковая, васьмярковы, пятеричная, дзесятковая, двадцатеричная і інш. Кожная мае ўласную гісторыю.

Сістэма, якая існавала у інкаў

Стос - гэта старажытная падліковая і мнеманічную сістэма, якая існавала у інкаў, а таксама іх папярэднікаў у Андах. Яна даволі своеасаблівая. Гэта складаныя вузельчыкі і вераўчаныя спляцення, вырабленыя з воўны лам і альпак, альбо з бавоўны. Можа быць у стос ад некалькіх звісаюць нітак да дзвюх тысяч. Выкарыстоўвалася яна пасыльны для перадачы паведамленняў па імпэрскім дарогах, а таксама ў розных аспектах жыцця грамадства (як тапаграфічная сістэма, каляндар, для фіксацыі законаў і падаткаў і інш.). Чыталі і пісалі стос тлумачальнікі, спецыяльна навучаныя. Яны абмацвалі вузельчыкі пальцамі, беручы ў рукі стос. Большая частка інфармацыі ў ёй - лікі, прадстаўленыя ў дзесятковай сістэме.

вавілонскія лічбы

На гліняных таблічках клінапісныя значкамі пісалі вавіланяне. Яны дайшлі да нашых дзён у немалой колькасці (больш за 500 тыс., Каля 400 з якіх звязаны з матэматыкай). Варта адзначыць, што карані культуры вавіланян былі перанятыя ў значнай ступені ад шумераў - падліковая методыка, клінапісныя ліст і т. П.

Нашмат дасканалей егіпецкай была вавілонская сістэма рахунку. Вавіланяне і шумеры ўжывалі 60-карычная пазіцыйную, якая сёння ўвекавечана ў дзяленні круга на 360 градусаў, а таксама гадзіны і хвіліны на 60 хвілін і секунд адпаведна.

Рахунак у Старажытным Кітаі

Развіццё паняцця аб ліку ажыццяўлялася і ў Старажытным Кітаі. У гэтай краіне лічбы пазначаліся з дапамогай спецыяльных іерогліфаў, якія з'явіліся прыкладна 2 тыс. Гадоў да н. э. Аднак канчаткова напісанне іх усталявалася толькі да 3 стагоддзю да н. э. І сёння ўжываюцца гэтыя іерогліфы. Спачатку мультыплікатыўны быў спосаб запісу. Лік 1946, напрыклад, можна ўявіць, выкарыстоўваючы рымскія лічбы замест іерогліфаў, як 1М9С4Х6. Але разлікі на практыцы вырабляліся на падліковай дошцы, дзе была іншай запіс лікаў - пазіцыйнай, як у Індыі, а не дзесятковай, як у вавіланян. Пустым месцам абазначаўся нуль. Толькі каля 12 стагоддзя н. э. з'явіўся для яго спецыяльны іерогліф.

Гісторыя злічэння ў Індыі

Шматстайныя і шырокія дасягненні матэматыкі ў Індыі. Гэтая краіна ўнесла вялікі ўклад у развіццё паняцця аб ліку. Менавіта тут была вынайдзенай дзесятковая пазіцыйная сістэма, звыклая нам. Індыйцы прапанавалі сімвалы для запісу 10 лічбаў, з некаторымі зменамі якія выкарыстоўваюцца ў нашы дні паўсюдна. Менавіта ў гэтай краіне былі закладзеныя таксама асновы дзесятковай арыфметыкі.

Сучасныя лічбы адбыліся ад індыйскіх значкоў, напісанне якіх выкарыстоўвалася яшчэ ў 1 стагоддзі н. э. Першапачаткова індыйская нумарацыя была вытанчанай. Сродкі для запісу лікаў да дзесяці ў пяцідзесятай ступені ўжываліся ў санскрыце. Спачатку для лічбаў выкарыстоўвалася так званая "сіра-фінікійская" сістэма, а з 6 стагоддзя да н. э. - "Брахма", з асобнымі знакамі для іх. Гэтыя значкі, некалькі перайначылі, сталі сучаснымі лічбамі, званымі сёння арабскімі.

Невядомы індыйскі матэматык прыкладна ў 500 годзе н. э. вынайшаў новую сістэму запісу - дзесятковую пазіцыйную. Выкананне розных арыфметычных дзеянняў у ёй было значна прасцей, чым у іншых. Індыйцы ў далейшым ўжывалі падліковыя дошкі, якія былі прыстасаваныя да пазіцыйнай запісу. Імі былі распрацаваны алгарытмы арыфметычных аперацый, у тым ліку атрымання кубічных і квадратных каранёў. Індыйскі матэматык Брахмагупта, які жыў у 7-м стагоддзі, увёў ва ўжытак адмоўныя лікі. Далёка прасунуліся індыйцы ў алгебры. Сімволіка іх больш багатая, чым у Диофанта, хоць некалькі засмечаная словамі.

Гістарычнае развіццё лікаў на Русі

Нумарацыя служыць галоўнай перадумовай матэматычных ведаў. Яна мела розны выгляд у розных народаў старажытнасці. Узнікненне і развіццё чысла на раннім этапе супадала ў розных частках сьвету. Спачатку ўсе народы пазначалі іх засечкамі на палачках, якія зваліся біркамі. Гэты спосаб запісу падаткаў або даўгавых абавязацельстваў выкарыстоўваўся малапісьменных насельніцтвам усяго свету. Рабілі нарэзы на палачцы, якія адпавядалі суме падатку або доўгу. Затым яе расколвалі напалову, пакінуўшы адну палову ў плацельшчыка або даўжнiка. Іншая захоўвалася ў казначэйстве ці ў пазычальніка. Абедзьве палавіны пры адплаце правяралі складваннем.

Лічбы з'явіліся з узнікненнем пісьменнасці. Яны нагадвалі спачатку засечкі на палках. Потым з'явіліся спецыяльныя значкі для некаторых з іх, такіх як 5 і 10. Усе нумарацыі ў той час былі ня пазіцыйнымі, а якія нагадваюць рымскую. У Старажытнай Русі, у той час як у дзяржавах Заходняй Еўропы ўжывалі рымскую нумарацыю, карысталіся алфавітнай, падобнай з грэцкай, так як наша краіна, як і іншыя славянскім, як вядома, знаходзілася ў культурным зносінах з Візантыяй.

Лікі ад 1 да 9, а потым дзясяткі і сотні ў старажытнарускай нумарацыі маляваліся літарамі славянскага алфавіту (кірыліцы, уведзенай у дзевятым стагоддзі).

Некаторыя выключэння былі з гэтага правіла. Так, 2 пазначалася не «букі", другі па ліку ў алфавіце, а "вядзі" (трэцяй), паколькі літара З па-старорусском перадавалася гукам "ў". Якая знаходзілася ў канцы алфавіту "фіта" пазначала 9, "чарвяк" - 90. Асобныя літары не выкарыстоўваліся. Для абазначэння таго, што знак гэты з'яўляецца лічбай, а не літарай, над ім зверху пісалі знак, званы "цітламі", «~». "Цемры" называліся дзясяткі тысяч. Пазначалі іх, абводзячы кружкамі знакі адзінак. Сотні тысяч называліся "легіёнамі". Іх малявалі, кружкамі з кропак абводзячы знакі адзінак. Мільёны - "леодры". Гэтыя знакі маляваліся як абведзеных ў гурткі з косак ці прамянёў.

Далейшае развіццё натуральнага ліку адбылося ў пачатку семнаццатага стагоддзя, калі індыйскія лічбы сталі вядомыя на Русі. Аж да васемнаццатага стагоддзя выкарыстоўвалася ў Расіі славянская нумарацыя. Пасля гэтага яна была замененая сучаснай.

Гісторыя комплексных лікаў

Гэтыя лікі былі ўведзеныя ўпершыню ў сувязі з тым, што была выдзелена формула вылічэнні каранёў кубічнага раўнання. Тарталья, італьянскі матэматык, атрымаў у першай палове шаснаццатага стагоддзя выраз разліку для кораня ўраўненні праз некаторыя параметры, для знаходжання якіх трэба было скласці сістэму. Аднак было высветлена, што падобная сістэма мела рашэнне не для ўсіх кубічных раўнанняў у сапраўдных ліках. Гэта з'ява патлумачыў Рафаэль Бомбелли ў 1572 годзе, што было на самай справе увядзеннем комплексных лікаў. Аднак атрыманыя вынікі доўгі час лічыліся сумніўнымі шматлікімі навукоўцамі, і толькі ў дзевятнаццатым стагоддзі гісторыя комплексных лікаў адзначылася важнай падзеяй - іх існаванне было прызнана пасля з'яўлення прац К. Ф. Гаўса.