Георг Кантар: тэорыя мностваў, біяграфія і сям'я матэматыка

Георг Кантар (фота прыведзена далей у артыкуле) - нямецкі матэматык, які стварыў тэорыю мностваў і ўвёў паняцце трансфінітных лікаў, бясконца вялікіх, але якія адрозніваюцца адзін ад аднаго. Таксама ён даў вызначэнне парадкавым і кардынальным чыслах і стварыў іх арыфметыку.

Георг Кантар: кароткая біяграфія

Нарадзіўся ў Санкт-Пецярбургу 1845/03/03. Яго бацькам быў датчанін пратэстанцкага веравызнання Георг-Вальдэмар Кантар, які займаўся гандлем, у т. Ч. І на фондавай біржы. Яго маці Марыя Бем была каталічкай і паходзіла з сям'і выбітных музыкаў. Калі ў 1856 годзе айцец Георга захварэў, сям'я ў пошуках больш мяккага клімату пераехала спачатку ў Вісбадэн, а затым у Франкфурт. Матэматычныя таленты ў хлопчыка праявіліся яшчэ да яго 15-годдзя падчас вучобы ў прыватных школах і гімназіях Дармштадта і Вісбадэна. У рэшце рэшт Георг Кантар пераканаў бацьку ў сваім цвёрдым намеры стаць матэматыкам, а не інжынерам.

Пасля нядоўгага навучання ў Цюрыхскі універсітэт ў 1863 годзе, Кантар перавёўся ў Берлінскі універсітэт, каб вывучаць фізіку, філасофію і матэматыку. Там яму выкладалі:

• Карл Тэадор Веерштрас, чыя спецыялізацыя на аналізе, верагодна, аказала найбольшы ўплыў на Георга;
• Эрнст Эдуард Куммер, які выкладаў вышэйшую матэматыку;
• Леапольд Кронекер, спецыяліст па тэорыі лікаў, які пасля выступаў супраць Кантара.

Правёўшы адзін семестр ва ўніверсітэце Гётынгена ў 1866 г., у наступным годзе Георг напісаў доктарскую дысертацыю пад загалоўкам «У матэматыцы мастацтва задаваць пытанні больш каштоўнае, чым рашэнне задач», якая тычыцца праблемы, якую Карл Фрыдрых Гаўс пакінуў нявырашанай ў яго Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Пасля кароткага выкладання ў Берлінскай школе для дзяўчынак Кантар пачаў працаваць ва ўніверсітэце Гальле, у якім заставаўся да канца свайго жыцця спачатку як выкладчык, з 1872 гады як дацэнт і з 1879-га ў якасці прафесара.

даследаванні

У пачатку серыі з 10 работ з 1869 па 1873 г. Георг Кантар разгледзеў тэорыю лікаў. Праца адлюстроўвала захопленасць прадметам, яго даследавання Гаўса і ўплыў Кронекера. Па прапанове Генрыха Эдуарда Гейне, калегі Кантара ў Гальле, які прызнаваў яго матэматычнае здольнасць, ён звярнуўся да тэорыі трыганаметрычных шэрагаў, у якіх пашырыў паняцце сапраўдных лікаў.

Адштурхоўваючыся ад працы па функцыі комплекснай зменнай нямецкага матэматыка Бэрнгард Рымана 1854 гады, у 1870 г. Кантар паказаў, што такая функцыя можа быць прадстаўлена толькі адным спосабам - трыганаметрычнымі радамі. Разгляд сукупнасці лікаў (кропак), якія б не супярэчылі такому прадстаўленні, прывяло яго, па-першае, ў 1872 годзе да вызначэння ірацыянальных лікаў у тэрмінах збежных паслядоўнасцяў рацыянальных лікаў (дробаў цэлых лікаў) і далей да пачатку работы над працай ўсёй яго жыцця, тэорыяй мностваў і канцэпцыяй трансфінітных лікаў.

тэорыя мностваў

Георг Кантар, тэорыя мностваў якога зарадзілася ў перапісцы з матэматыкам тэхнічнага інстытута Брауншвейга Рычардам Дедекиндом, сябраваў з ім з дзяцінства. Яны прыйшлі да высновы, што мноства, канчатковыя або бясконцыя, з'яўляюцца сукупнасцю элементаў (напрыклад, лікаў, {0, ± 1, ± 2...}), Якія валодаюць пэўным уласцівасцю, захоўваючы пры гэтым сваю індывідуальнасць. Але калі Георг Кантар ужыў для вывучэння іх характарыстык ўзаемна адназначнае адпаведнасць (напрыклад, {А, B, C} да {1, 2, 3}), ён хутка зразумеў, што яны адрозніваюцца па ступені іх прыналежнасці, нават калі гэта былі бясконцыя мноства , т. е. мноства, частку або падмноства якіх уключае столькі ж аб'ектаў, колькі яно само. Яго метад неўзабаве даў дзіўныя вынікі.

У 1873 году Георг Кантар (матэматык) паказаў, што рацыянальныя лікі, хоць і бясконцыя, з'яўляюцца падліковая, таму што могуць быць пастаўлены ва ўзаемна адназначнае адпаведнасць з натуральнымі (т. Е. 1, 2, 3 і т. Д.). Ён паказаў, што мноства сапраўдных лікаў, якое складаецца з ірацыянальных і рацыянальных, бясконцае і незлічоная. Што больш парадаксальна, Кантар даказаў, што мноства ўсіх алгебраічных лікаў ня столькі ж элементаў, колькі мноства ўсіх цэлых, і што трансцэндэнтныя колькасці, якія не з'яўляюцца алгебраічнымі, якія ўяўляюць сабой падмноства ірацыянальных лікаў, незьлічоныя і, такім чынам, іх колькасць больш, чым цэлых лікаў , і павінна разглядацца як инфинитное.

Праціўнікі і прыхільнікі

Але праца Кантара, у якой ён упершыню высунуў гэтыя вынікі, не была апублікавана ў часопісе «Крелль», так як адзін з рэцэнзентаў, Кронекер, быў катэгарычна супраць. Але пасля ўмяшання Дедекинда яна была апублікавана ў 1874 годзе пад назвай «Аб характэрных уласцівасцях ўсіх сапраўдных алгебраічных лікаў».

Навука і асабістае жыццё

У гэтым жа годзе падчас правядзення мядовага месяца са сваёй жонкай Валі Гутман ў Интерлакене, Швейцарыя, Кантар сустрэў Дедекинда, які добразычліва адгукнуўся пра яго новай тэорыі. Дараванне Георга было невялікім, але на грошы бацькі, які памёр у 1863 г., ён пабудаваў для сваёй жонкі і пецярых дзяцей дом. Многія з яго работ былі апублікаваныя ў Швецыі ў новым часопісе Acta Mathematica, рэдактарам і заснавальнікам якога быў Геста Миттаг-Леффлера, у ліку першых які прызнаў талент нямецкага матэматыка.

Сувязь з метафізікай

Тэорыя Кантара стала цалкам новым прадметам даследаванняў, што тычацца матэматыкі бясконцага (напрыклад, шэрагу 1, 2, 3 і т. Д., І больш складаных мностваў), які ў значнай ступені залежаў ад ўзаемна адназначнага адпаведнасці. Распрацоўка Кантара новых метадаў пастаноўкі пытанняў, якія тычацца бесперапыннасці і бясконцасці, надала яго даследаванняў неадназначны характар.

Калі ён сцвярджаў, што бясконцыя колькасці рэальна існуюць, ён звярнуўся да старажытнай і сярэднявечнай філасофіі ў дачыненні да актуальнай і патэнцыйнай бясконцасці, а таксама да ранняга рэлігійнаму выхаванню, якое далі яму бацькі. У 1883 годзе ў сваёй кнізе "Асновы агульнай тэорыі мностваў» Кантар аб'яднаў сваю канцэпцыю з метафізікай Платона.

Кронекер ж, які сцвярджаў, што «існуюць» толькі цэлыя лікі ( «Бог стварыў цэлыя лікі, астатняе - справа рук чалавека»), на працягу многіх гадоў горача адкідаў яго развагі і перашкаджаў яго прызначэнні ў Берлінскім універсітэце.

трансфінітнай колькасці

У 1895-97 гг. Георг Кантар цалкам сфармаваў сваё ўяўленне аб бесперапыннасці і бясконцасці, уключаючы бясконцыя парадкавыя і кардынальныя колькасці, у яго самай вядомай працы, апублікаванай пад назвай «Уклад у стварэнне тэорыі трансфінітных лікаў» (1915). Гэты твор змяшчае яго канцэпцыю, да якой яго прывяла дэманстрацыя таго, што бясконцае мноства можа быць пастаўлена ва ўзаемна адназначнае адпаведнасць з адным з яго падмноства.

Пад найменшай трансфінітнай кардынальным лікам ён меў на ўвазе магутнасць любога мноства, якое можна паставіць ва ўзаемна адназначнае адпаведнасць з натуральнымі лікамі. Кантар назваў яго Алеф-нулём. Вялікія трансфінітнай мноства абазначаюцца Алеф-адзін, Алеф-два і т. Д. Далей ён развіў арыфметыку трансфінітных лікаў, якая была аналагічная канчатковай арыфметыцы. Такім чынам, ён узбагаціў паняцце бясконцасці.

Апазіцыя, з якой ён сутыкнуўся, і час, якое спатрэбілася на тое, каб яго ідэі былі цалкам прынятыя, тлумачацца складанасцямі пераацэнкі старажытнага пытання пра тое, чым з'яўляецца лік. Кантар паказаў, што мноства кропак на лініі валодае больш высокай магутнасцю, чым Алеф-нуль. Гэта прывяло да вядомай праблеме гіпотэзы аб кантынууме - ніякіх кардынальных лікаў паміж Алеф-нулём і магутнасцю кропак на лініі няма. Гэтая задача ў першай і другой палове 20-га стагоддзя выклікала вялікую цікавасць і вывучалася многімі матэматыкамі, у т. Ч. Куртам Гедель і Полам Коэнам.

дэпрэсія

Біяграфія Георга Кантара з 1884 г. была азмрочана што пачаўся ў яго псіхічным захворваннем, але ён працягваў актыўна працаваць. У 1897 г. ён дапамог правесці ў Цюрыху першы міжнародны матэматычны кангрэс. Збольшага таму, што яму апаніраваў Кронекер, ён часта спачуваў маладым пачынаючым матэматыкам і імкнуўся знайсці спосаб пазбавіць іх ад прыгнёту з боку выкладчыкаў, якія адчуваюць пагрозу з боку новых ідэй.

прызнанне

На мяжы стагоддзяў яго праца была цалкам прызнана ў якасці асновы для тэорыі функцый, аналізу і тапалогіі. Акрамя таго, кнігі Кантара Георга паслужылі штуршком для далейшага развіцця интуитивистских і формалистических школ лагічных асноў матэматыкі. Гэта істотна змяніла сістэму выкладання і часта асацыюецца з «новай матэматыкай».

У 1911 г. Кантар быў у ліку запрошаных на святкаванне 500-годдзя Сэнт-Эндрюсского універсітэта ў Шатландыі. Ён адправіўся туды ў надзеі сустрэцца з Бертранам Расэлам, які ў сваёй нядаўна апублікаванай працы Principia Mathematica неаднаразова спасылаўся на нямецкага матэматыка, але гэтага не адбылося. Універсітэт прысвоіў Кантар ганаровую ступень, але з-за хваробы ён не змог прыняць ўзнагароду асабіста.

Кантар выйшаў на пенсію, у 1913 г., жыў у беднасці і падчас Першай сусветнай вайны галадаў. Ўрачыстасці ў гонар яго 70-годдзя ў 1915 г. былі адменены па прычыне вайны, але невялікая цырымонія адбылася ў яго дома. Ён памёр 1918/01/06 г. у Гале, у псіхіятрычным шпіталі, дзе правёў апошнія гады свайго жыцця.

Георг Кантар: біяграфія. сям'я

9 жніўня 1874 г. нямецкі матэматык ажаніўся на Валі Гутман. У мужоў нарадзілася 4 сына і 2 дачкі. Апошні дзіця нарадзіўся ў 1886 г. у набытым Кантара новым доме. Утрымліваць сям'ю яму дапамагло спадчыну бацькі. На стане здароўя Кантара моцна адбілася смерць яго малодшага сына ў 1899 г. - з тых часоў яго не пакідала дэпрэсія.