Што такое нулі функцыі і як іх вызначыць

Што такое нулі функцыі? Адкажа даволі просты - гэта матэматычны тэрмін, пад якім маюць на ўвазе вобласць вызначэння зададзенай функцыі, на якім яе значэнне нулявы. Нулі функцыі таксама называюць каранямі ўраўненні. Прасцей за ўсё патлумачыць, што такое нулі функцыі, на некалькіх простых прыкладах.

прыклады

Разгледзім нескладанае раўнанне у = х + 3. Паколькі нуль функцыі - гэта значэнне аргументу, пры якім у набыў нулявое значэнне, падставім 0 на левую частку ўраўненні:

0 = х + 3;

х = -3.

У дадзеным выпадку -3 і ёсць шуканы нуль. Для дадзенай функцыі існуе толькі адзін корань раўнання, але так бывае далёка не заўсёды.

Разгледзім іншы прыклад:

у = х ² -9.

Падставім 0 на левую частку ўраўненні, як і ў папярэднім прыкладзе:

0 = х ² -9;

-9 = х ^2.

Відавочна, што ў дадзеным выпадку нулёў функцыі будзе два: х = 3 і х = -3. Калі б у раўнанні быў аргумент трэцяй ступені, нулёў было б тры. Можна зрабіць простую выснову, што колькасць каранёў мнагачлена адпавядае максімальнай ступені агрумента ў раўнанні. Аднак многія функцыі, напрыклад у = х ^3, на першы погляд супярэчаць гэтаму сцвярджэнню. Логіка і здаровы сэнс падказваюць, што ў гэтай функцыі толькі адзін нуль - у кропцы х = 0. Але на самой справе каранёў тры, проста ўсе яны супадаюць. Калі вырашаць раўнанне ў комплекснай форме, гэта становіцца відавочным. х = 0 у дадзеным выпадку, корань, кратнасць якога 3. У папярэднім прыкладзе нулі ня супадалі, таму мелі кратнасць 1.

алгарытм вызначэння

З прадстаўленых прыкладаў відаць, як вызначыць нулі функцыі. Алгарытм заўсёды адзін і той жа:

1. Запісаць функцыю.
2. Падставіць к або f (x) = 0.
3. Вырашыць атрыманае раўнанне.

Складанасць апошняга пункта залежыць ад ступені аргументу ўраўненні. Пры вырашэнні раўнанняў высокіх ступеняў асабліва важна памятаць, што колькасць каранёў ўраўненні роўна максімальнай ступені аргументу. Асабліва гэта актуальна для трыганаметрычных ураўненняў, дзе дзяленне абодвух частак на сінус або косінус прыводзіць да страты каранёў.

Ўраўненні адвольнай ступені прасцей за ўсё вырашаць метадам Горнера, які быў распрацаваны спецыяльна для знаходжання нулёў адвольнага мнагачлена.

Значэнне нулёў функцый можа быць як адмоўным, так і дадатным, сапраўдным або які ляжыць у комплекснай плоскасці, адзінкавым ці множным. Ці ж каранёў ўраўненні можа і не быць. Напрыклад, функцыя у = 8 не набудзе нулявога значэння ні пры якім х, таму што яна не залежыць ад гэтай зменнай.

Раўнанне у = х ² -16 мае два кораня, і абодва ляжаць у комплекснай плоскасці: х ₁ = 4і, х ₂ = -4і.

тыповыя памылкі

Частая памылка, якую дапускаюць школьнікі, яшчэ не разабраўшы толкам у тым, што такое нулі функцыі, - гэта замена на нуль аргументу (х), а не значэння (у) функцыі. Яны ўпэўнена падстаўляюць у раўнанне х = 0 і, зыходзячы з гэтага, знаходзяць у. Але гэта няправільны падыход.

Іншая памылка, як ужо згадвалася, скарачэнне на сінус або косінус ў трыганаметрычныя раўнанні, з-за чаго і губляецца адзін або некалькі нулёў функцыі. Гэта не азначае, што ў такіх ўраўненнях нельга нічога скарачаць, проста пры далейшых падліках неабходна ўлічваць гэтыя "страчаныя" сомножители.

графічнае прадстаўленне

Зразумець, што такое нулі функцыі, можна з дапамогай матэматычных праграм, такіх як Maple. У ёй можна пабудаваць графік, паказаўшы жаданае колькасць кропак і патрэбны маштаб. Тыя кропкі, у якіх графік перасячэ вось ОХ, і ёсць шуканыя нулі. Гэта адзін з самых хуткіх спосабаў знаходжання каранёў мнагачлена, асабліва калі яго парадак вышэй трэцяга. Так што калі ёсць неабходнасць рэгулярна выконваць матэматычныя разлікі, знаходзіць карані мнагачлена адвольных ступеняў, будаваць графікі, Maple або аналагічная праграма будзе проста незаменная для ажыццяўлення і праверкі разлікаў.