Сутнасць і віды сярэдніх велічынь у статыстыцы і спосабы іх вылічэння. Віды сярэдніх велічынь у статыстыцы коратка: прыклады, табліца

Пачынаючы вывучэнне такой навукі, як статыстыка, варта разумець, што яна ўтрымлівае (як і любая навука) шмат тэрмінаў, якія неабходна ведаць і разумець. Сёння мы разбяром такое паняцце, як сярэдняя велічыня, і высвятлім, на якія віды яна дзеліцца, як іх вылічаць. Ну а перад тым як пачаць, пагаворым крыху пра гісторыю, і пра тое, якім чынам і навошта паўстала такая навука, як статыстыка.

гісторыя

Само слова "статыстыка" вядзе сваё паходжанне з лацінскай мовы. Гэта вытворнае ад слова "статус", і азначае "стан рэчаў" ці "сітуацыя". Гэта кароткае вызначэнне і адлюстроўвае, па сутнасці, увесь сэнс і прызначэнне статыстыкі. Яна збірае дадзеныя аб стане рэчаў і дазваляе аналізаваць любыя сітуацыі. Працай са статыстычнымі дадзенымі займаліся яшчэ ў Старажытным Рыме. Там праводзіўся ўлік свабодных грамадзян, іх уладанняў і ўласнасці. Наогул першапачаткова статыстыка выкарыстоўвалася для атрымання дадзеных аб колькасці насельніцтва і іх даброты. Так, у Англіі ў 1061 годзе была праведзена першая ў свеце перапіс насельніцтва. Ханы, якія валадарылі на Русі ў 13 стагоддзі, таксама праводзілі перапісу, каб браць даніну з захопленых зямель.

Кожны выкарыстаў статыстыку для сваіх мэтаў, і ў большасці выпадкаў гэта прыносіла чаканы вынік. Калі людзі ўсвядомілі, што гэта не проста матэматыка, а асобная навука, якую трэба вывучаць грунтоўна, пачалі з'яўляцца першыя навукоўцы, зацікаўленыя ў яе развіцці. Людзі, якія ўпершыню зацікавіліся гэтай вобласцю і пачалі актыўна яе спасцігаць, былі прыхільнікамі двух асноўных школ: англійскай навуковай школы палітычных арыфметыкі і нямецкай апісальнай школы. Першая ўзьнікла ў сярэдзіне 17-га стагоддзя і ставіла на мэце прадставіць грамадскія з'явы, выкарыстоўваючы лікавыя паказчыкі. Яны імкнуліся выявіць заканамернасці ў грамадскіх з'явах на аснове вывучэння статыстычных дадзеных. Прыхільнікі апісальнай школы таксама апісвалі сацыяльна-грамадскія працэсы, але з выкарыстаннем толькі слоў. Яны не маглі ўявіць дынаміку падзей, каб лепш зразумець яе.

У першай палове 19 стагоддзя паўстала яшчэ адно, трэці кірунак гэтай навукі: статыстыка-матэматычны. Вялікі ўклад у развіццё гэтага кірунку ўнёс вядомы вучоны, статыстык з Бельгіі Адольф Кетле. Менавіта ён вылучыў віды сярэдніх велічынь у статыстыцы, і па яго ініцыятыве пачалі праводзіцца міжнародныя кангрэсы, прысвечаныя гэтай навуцы. З пачатку 20 стагоддзя ў статыстыцы пачалі прымяняцца больш складаныя матэматычныя метады, напрыклад, тэорыя верагоднасцяў.

Сёння статыстычная навука развіваецца дзякуючы кампутарызацыі. З дапамогай розных праграм кожны можа пабудаваць графік на аснове прапанаваных дадзеных. У інтэрнэце таксама ёсць маса рэсурсаў, якія прадстаўляюць любыя статыстычныя дадзеныя аб насельніцтве і не толькі.

У наступным раздзеле мы разбяром, што азначаюць такія паняцці, як статыстыка, віды сярэдніх велічынь і верагоднасці. Далей кранём пытання пра тое, як і дзе мы можам выкарыстоўваць атрыманыя веды.

Што такое статыстыка?

Гэта навука, асноўнай мэтай якой з'яўляецца апрацоўка інфармацыі для вывучэння заканамернасцяў працэсаў, якія адбываюцца ў грамадстве. Такім чынам, можна сфармуляваць выснову аб тым, што статыстыка вывучае грамадства і тыя з'явы, што працякаюць у ім.

Адрозніваюць некалькі дысцыплін статыстычнай навукі:

1) Агульная тэорыя статыстыкі. Распрацоўвае метады збору статыстычных дадзеных і з'яўляецца асновай ўсіх астатніх абласцей.

2) Сацыяльна-эканамічная статыстыка. Яна вывучае макраэканамічныя з'явы з пункту гледжання папярэдняй дысцыпліны і колькасна характарызуе грамадскія працэсы.

3) Матэматычная статыстыка. Не ўсё ў гэтым свеце можна даследаваць. Нешта даводзіцца прадугледжваць. Матэматычная статыстыка вывучае выпадковыя велічыні і законы размеркавання верагоднасці ў статыстыцы.

4) Галіновая і міжнародная статыстыцы. Гэта вузкія вобласці, якія вывучаюць колькасную бок з'яў, якія адбываюцца ў пэўных краінах або галінах жыцця грамадства.

А зараз мы разгледзім віды сярэдніх велічынь у статыстыцы, коратка распавядзем пра іх ужыванне ў іншых, не гэтак трывіяльных галінах, як статыстыка.

Віды сярэдніх велічынь у статыстыцы

Вось мы і падышлі да самага галоўнага, уласна, да тэмы артыкула. Вядома, для асваення матэрыялу і засваення такіх паняццяў, як сутнасць і віды сярэдніх велічынь у статыстыцы неабходныя пэўныя веды матэматыкі. Для пачатку ўспомнім, што такое сярэдняе арыфметычнае, гарманічнае, геаметрычнае і квадратычны.

Сярэдняе арыфметычнае мы праходзілі яшчэ ў школе. Яно вылічаецца вельмі проста: мы бярэм некалькі лікаў, сярэдняе паміж якімі неабходна знайсці. Складаем гэтыя лікі і дзелім суму на іх колькасць. Матэматычна гэта можна адлюстраваць наступным чынам. У нас ёсць шэраг лікаў, як прыклад, самы просты шэраг: 1,2,3,4. Усяго ў нас 4-га. Іх сярэдняе арыфметычнае знаходзім такім чынам: (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2,5. Усё проста. Мы пачынаем з гэтага, таму што так лягчэй зразумець віды сярэдніх велічынь у статыстыцы.

Коратка распавядзем таксама і аб сярэдняй геаметрычным. Возьмем такі ж шэраг лікаў, як і ў папярэднім прыкладзе. Але цяпер, каб вылічыць сярэдняе геаметрычнае, нам трэба атрымаць корань ступені, якая роўная колькасці гэтых лікаў, з іх творы. Такім чынам, для папярэдняга прыкладу атрымаем: (1 * 2 * 3 * 4) ^1/4 ~ 2,21.

Паўторым паняцце сярэдняга гарманічнага. Як можна ўспомніць з школьнага курсу матэматыкі, каб палічыць гэты від сярэдняга, нам неабходна спачатку знайсці ліку, зваротныя чыслах шэрагу. Гэта значыць, мы дзелім адзінку на гэты лік. Так атрымліваем зваротныя колькасці. Стаўленне іх колькасці да сумы і будзе сярэднім гарманічным. Возьмем для прыкладу той жа шэраг: 1, 2, 3, 4. Зваротны шэраг будзе выглядаць так: 1, 1/2, 1/3, 1/4. Тады сярэдняе гарманічнае можна палічыць так: 4 / (1 + 1/2 +1 / 3 +1 / 4) ~ 1,92.

Усе гэтыя віды сярэдніх велічынь у статыстыцы, прыклады якіх мы разгледзелі, з'яўляюцца часткай групы пад назвай сталыя. Таксама існуюць структурныя сярэднія, якія мы разбяром пазней. Цяпер спынімся на першым выглядзе.

Сталыя сярэднія велічыні

Мы ўжо разабралі арыфметычнае, геаметрычнае і гарманічнае. Ёсць таксама больш складаны выгляд, званы сярэднім квадратычным. Хоць яго і не праходзяць ў школе, вылічыць яго досыць проста. Неабходна толькі скласці квадраты лікаў шэрагу, падзяліць суму на іх колькасць, і атрымаць з усяго гэтага квадратны корань. Для нашага любімага шэрагу гэта будзе выглядаць так: ^{((1 2 +2 2 +3 2} +4 2) / 4) 1/2 = (30/4) 1/2 ~ 2,74.

На самай справе гэта ўсё толькі прыватныя выпадкі сярэдняга сталага. У агульным выглядзе гэта можна апісаць так: ступень n-нага парадку роўна пні ступені n з сумы лікаў у n-най ступені, делённой на колькасць гэтых лікаў. Пакуль усё не так складана, як здаецца.

Аднак нават ступенню сярэдняе з'яўляецца прыватным выпадкам аднаго выгляду - сярэдняга Колмогорова. Па сутнасці, усе спосабы, якімі мы знаходзілі розныя асераднёныя велічыні да гэтага, можна прадставіць у выглядзе адной формулы: y ^-1 * ((y (x ₁₎ + y (x ₂₎ + y (x ₃₎ + ... + y (x _n)) / n). Тут усё зменныя x - гэта колькасці шэрагу, а y (x) - нейкая функцыя, па якой мы лічым сярэдняе значэнне. У выпадку, скажам, з сярэднім квадратычным, гэта функцыя y = x ^2, а з сярэднім арыфметычным y = x. Вось якія сюрпрызы нам часам падае статыстыка. Віды сярэдніх велічынь мы разабралі яшчэ не да канца. Акрамя сярэдніх існуюць яшчэ і структурныя. Пагаворым пра іх.

Структурныя сярэднія велічыні статыстыкі. мода

Тут усё крыху больш складана. Каб разабраць гэтыя віды сярэдніх велічынь у статыстыцы і спосабы іх вылічэння, трэба грунтоўна падумаць. Існуе дзве асноўных структурных сярэдніх: мода і медыяна. Разбярэмся з першым.

Мода сустракаецца найбольш часта. Яна ўжываецца часцей за ўсё для вызначэння попыту на тую ці іншую рэч. Каб знайсці яе значэнне, трэба спачатку знайсці мадальны інтэрвал. Што гэта такое? Мадальны інтэрвал - вобласць значэнняў, дзе якой-небудзь паказчык мае найбольшую частату. Неабходная нагляднасць, каб лепш прадставіць моду і віды сярэдніх велічынь у статыстыцы. Табліца, якую мы разгледзім ніжэй, уяўляе сабой частка задачы, ўмова якой такое:

Вызначыце моду па дадзеных працоўных цэха аб дзённай выпрацоўцы.

У нашым выпадку мадальны інтэрвал - гэта адрэзак паказчыка дзённай выпрацоўкі з найбольшай колькасцю чалавек, то ёсць 40-44. Яго ніжняя мяжа - 44.

А цяпер абмяркуем, як жа вылічыць гэтую самую моду. Формула не вельмі складаная і запісаць яе можна так: M = x ₁ + n * (f _M -f _{M -1)} / ((f _M -f _{M -1)} + (f _M -f _{M + 1)).} Тут f _M - частата мадальнага інтэрвалу, f _M-1 - частата інтэрвалу перад мадальным (у нашым выпадку гэта 36-40), f _{M + 1} - частата інтэрвалу пасля мадальнага (для нас - 44-48), n - велічыня інтэрвалу ( то ёсць рознасць паміж ніжняй і верхняй мяжой)? x ₁ - значэнне ніжняй мяжы (у прыкладзе гэта 40). Ведаючы ўсе гэтыя дадзеныя, мы можам смела вылічыць моду на колькасць дзённай выпрацоўкі: M = 40 + 4 * (24-20) / ((24-20) + (24-19)) = 40 + 16/9 = 41, ( 7).

Структурныя сярэднія велічыні статыстыка. медыяна

Разбяром яшчэ такі выгляд структурных велічынь, як медыяна. Падрабязна на ім мы не будзем спыняцца, распавядзем толькі пра адрозненні з папярэднім тыпам. У геаметрыі медыяна дзеліць кут папалам. Нездарма ў статыстыцы гэты від сярэдняй велічыні так назвалі. Калі ранжыраваць шэраг (да прыкладу, па колькасці насельніцтва таго ці іншага вагі ў парадку ўзрастання колькасці), то медыянай будзе такое значэнне, якое дзеліць гэты шэраг на дзве часткі, роўныя па колькасці.

Іншыя віды сярэдніх велічынь у статыстыцы

Структурныя тыпы разам са ступенню даюць далёка не ўсё, што патрабуецца для разлікаў у розных галінах. Вылучаюць і іншыя тыпы гэтых дадзеных. Такім чынам, бываюць сярэднія ўзважаныя. Гэты тып прымяняецца тады, калі колькасці ў шэрагу маюць розны "рэчавы вага". Гэта можна растлумачыць на простым прыкладзе. Возьмем аўтамабіль. Ён рухаецца з рознай хуткасцю ў розныя прамежкі часу. Пры гэтым адзін ад аднаго адрозніваюцца і значэння гэтых часовых адрэзкаў, і значэння хуткасцяў. Дык вось, гэтыя прамежкі і будуць з'яўляцца рэчавымі вагамі. Узважанымі можна зрабіць любы выгляд ступенных сярэдніх.

У цеплатэхніка таксама ўжываецца яшчэ адзін від сярэдніх велічынь - сярэдняе лагарыфмічнай. Яно выяўляецца досыць складанай формулай, прыводзіць якую мы не будзем.

Дзе гэта ўжываецца?

Статыстыка - навука, не прывязаная да якой-небудзь адной сферы. Хоць і створана яна была як частка сацыяльна-эканамічнай сферы, але сёння яе метады і законы прымяняюцца ў фізіцы, хіміі, і біялогіі. Валодаючы ведамі ў гэтай галіне, мы можа лёгка вызначаць трэнды грамадства і своечасова прадухіляць пагрозы. Часта мы чуем фразы "пагрозлівая статыстыка", і гэта не пустыя словы. Гэта навука распавядае нам пра нас саміх, і пры належным яе вывучэнні здольная папярэдзіць пра тое, што можа адбыцца.

Як звязаны віды сярэдніх велічынь у статыстыцы?

Суадносіны паміж імі не заўсёды існуюць, вось, напрыклад, структурныя віды паміж сабой не звязаныя ніякімі формуламі. Але са ступенню ўсё значна цікавей. Напрыклад, існуе такое ўласцівасць: сярэдняе арыфметычнае двух лікаў заўсёды больш або роўна іх сярэдняму геаметрычнаму. Матэматычна можна запісаць так: (a + b) / 2> = (a * b) ^1/2. Даказваецца няроўнасць пераносам правай частцы налева і далейшай групоўкай. У выніку атрымліваем рознасць каранёў, была збудаваная ў квадрат. А так як любы лік у квадраце станоўчае, адпаведна, няроўнасць становіцца верным.

Акрамя гэтага ёсць больш агульнае суадносіны велічынь. Высвятляецца, што сярэдняе гарманічнае заўсёды менш за сярэдні геаметрычнага, якое меней за сярэдні арыфметычнай. А апошняе аказваецца, у сваю чаргу, менш за сярэдні квадратычнага. Можаце самастойна праверыць правільнасць гэтых суадносін хоць бы на прыкладзе двух лікаў - 10 і 6.

Якое ж гэта падарожжа?

Цікава тое, што віды сярэдніх велічынь у статыстыцы, якія, здавалася б, паказваюць проста нейкі сярэдні ўзровень, на самой справе могуць сказаць дасведчанаму чалавеку значна больш. Калі мы глядзім навіны, ніхто і не задумваецца над сэнсам гэтых лічбаў і тым, як наогул іх знаходзіць.

Што можна яшчэ пачытаць?

Для далейшага асваення тэмы мы рэкамендуем прачытаць (або праслухаць) курс лекцый па статыстыцы і вышэйшай матэматыцы. Бо ў гэтым артыкуле мы распавялі толькі пра макулінкі таго, што ўтрымлівае ў сабе гэтая навука, і сама па сабе яна цікавей, чым здаецца на першы погляд.

Як гэтыя веды мне дапамогуць?

Магчыма, яны і спатрэбяцца вам у жыцці. Але калі вам цікавая сутнасць грамадскіх з'яў, іх механізм і ўплыў на вашу жыццё, то статыстыка дапаможа вам глыбей разабрацца ў гэтых пытаннях. Наогул, яна можа апісаць практычна любы бок нашага жыцця, калі ў яе распараджэнні маюцца адпаведныя дадзеныя. Ну а тое, адкуль і як здабываецца інфармацыя для аналізу - тэма асобнага артыкула.

заключэнне

Цяпер мы ведаем, што бываюць розныя віды сярэдніх велічынь ў статыстыцы: сцяпенные і структурныя. Разабраліся ў спосабах іх вылічэнні і ў тым, дзе і як гэта можна ўжыць.