Множанне і дзяленне ў слупок: прыклады

Матэматыка падобна галаваломку. Асабліва гэта тычыцца дзялення і множання ў слупок. У школе гэтыя дзеянні вывучаюцца ад простага да складанага. Таму абавязкова належыць добра засвоіць алгарытм выканання названых аперацый на простых прыкладах. Каб потым не ўзнікла цяжкасцяў з дзяленнем дзесятковых дробаў ў слупок. Бо гэта самы складаны варыянт падобных заданняў.

Парады тым, хто хоча добра ведаць матэматыку

Гэты прадмет патрабуе паслядоўнага вывучэння. Прабелы ў ведах тут недапушчальныя. Такі прынцып павінен засвоіць кожны вучань ужо ў першым класе. Таму пры пропуску некалькіх урокаў запар матэрыял прыйдзецца асвоіць самастойна. Інакш пазней паўстануць праблемы не толькі з матэматыкай, але і іншымі прадметамі, звязанымі з ёй.

Другое абавязковая ўмова паспяховага вывучэння матэматыкі - пераходзіць да прыкладаў на дзяленне ў слупок толькі пасля таго, як засвоены складанне, адніманне і множанне.

Дзіцяці будзе цяжка дзяліць, калі ён не вывучыў табліцу множання. Дарэчы, яе лепш вучыць па табліцы Піфагора. Там няма нічога лішняга, ды і засвойваецца множанне ў такім выпадку прасцей.

Як памнажаюцца ў слупок натуральныя лікі?

Калі ўзнікае цяжкасць ў вырашэнні прыкладаў у слупок на падзел і множанне, то пачынаць ўстараняць праблему належыць з множання. Паколькі дзяленне з'яўляецца зваротнай аперацыяй множаньню:

1. Да таго як перамнажаць два ліку, на іх трэба ўважліва паглядзець. Выбраць тое, у якім больш разрадаў (даўжэй), запісаць яго першым. Пад ім размясціць другое. Прычым лічбы адпаведнага разраду павінны апынуцца пад тым жа разрадам. Гэта значыць самая правая лічба першага чысла павінна быць над самай правай другога.
2. Памножце крайнюю правую лічбу ніжняга колькасці на кожную лічбу верхняга, пачынаючы справа. Запішыце адказ пад рысай так, каб яго апошняя лічба была пад той на якую памнажалі.
3. Тое ж паўтарыце з другога цифой ніжняга колькасці. Але вынік ад множання пры гэтым трэба зрушыць на адну лічбу налева. Пры гэтым яго апошняя лічба апынецца пад той, на якую памнажалі.

Працягваць такое множанне ў слупок да таго часу, пакуль не скончацца лічбы ў другім множніка. Цяпер іх трэба скласці. Гэта і будзе шуканы адказ.

Алгарытм множання ў слупок дзесятковых дробаў

Спачатку належыць ўявіць, што дадзены не дзесятковыя дробы, а натуральныя. Гэта значыць прыбраць з іх коскай і далей дзейнічаць так, як апісана ў папярэднім выпадку.

Адрозненне пачынаецца, калі запісваецца адказ. У гэты момант неабходна злічыць ўсе лічбы, якія стаяць пасля косак у абедзвюх дробах. Менавіта столькі іх трэба адлічыць ад канца адказу і там паставіць коску.

Зручна праілюстраваць гэты алгарытм на прыкладзе: 0,25 х 0,33:

• Запісаць гэтыя дробу трэба так, каб лік 33 было пад 25.
• Цяпер правую тройку трэба памножыць на 25. Ці атрымаецца 75. Запісаць яго належыць так, каб пяцёрка апынулася пад тройкай, на якую выконвалася множанне.
• Потым памнажаць 25 на першую 3. Ізноў будзе 75, але напісана яно будзе так, каб 5 апынулася пад 7 папярэдняга ліку.
• Пасля складання гэтых двух лікаў атрымліваецца 825. У дзесятковых дробах коскамі аддзеленыя 4 лічбы. Таму ў адказе трэба аддзяліць коскі тоже 4 лічбы. Але іх усяго тры. Для гэтага перад 8 прыйдзецца напісаць 0, паставіць коску, перад ёй яшчэ адзін 0.
• Адказам у прыкладзе апынецца лік 0,0825.

З чаго пачаць навучанне дзяленню?

Да таго як вырашаць прыклады на дзяленне ў слупок, належыць запомніць назвы лікаў, якія стаяць у прыкладзе на дзяленне. Першае з іх (гэта, якое дзеліцца) - падзельнае. Другое (на яго дзеляць) - дзельнік. Адказ - прыватнае.

Пасля гэтага на простым бытавым прыкладзе разгадаем сутнасьць гэтай матэматычнай аперацыі. Напрыклад, калі ўзяць 10 цукерак, то падзяліць іх пароўну паміж мамай і татам лёгка. А як быць, калі трэба раздаць іх бацькам і брату?

Пасля гэтага можна знаёміцца з правіламі дзялення і асвойваць іх на канкрэтных прыкладах. Спачатку простых, а потым пераходзіць да ўсё больш складаным.

Алгарытм дзялення лікаў у слупок

Спачатку прадставім парадак дзеянняў для натуральных лікаў, якія дзеляцца на адназначны лік. Яны будуць асновай і для мнагазначных дзельнікаў або дзесятковых дробаў. Толькі тады належыць ўнесці невялікія змены, але пра гэта пазней:

• Да таго як рабіць дзяленне ў слупок, трэба высветліць, дзе падзельнае і дзельнік.
• Запісаць падзельнае. Справа ад яго - дзельнік.
• Прачарціў злева і знізу каля апошняга куток.
• Вызначыць няпоўнае падзельнае, гэта значыць лік, якое будзе мінімальным для дзялення. Звычайна яно складаецца з адной лічбы, максімум з двух.
• Падабраць лік, якое будзе першым запісана ў адказ. Яно павінна быць такім, колькі разоў дзельнік змяшчаецца ў дзелім.
• Запісаць вынік ад множання гэтага ліку на дзельнік.
• Напісаць яго пад няпоўным дзелім. Выканаць адніманне.
• Знесці да рэшты першую лічбу пасля той частцы, якая ўжо падзеленая.
• Зноў падабраць лік для адказу.
• Паўтарыць множанне і адніманне. Калі рэшту роўны нулю і падзельнае скончылася, то прыклад зроблены. У адваротным выпадку паўтарыць дзеянні: знесці лічбу, падабраць лік, памножыць, адняць.

Як вырашаць дзяленне ў слупок, калі ў дзельніку больш адной лічбы?

Сам алгарытм цалкам супадае з тым, што быў апісаны вышэй. Адзнакай будзе колькасць лічбаў у няпоўным дзелім. Іх зараз мінімум павінна быць дзве, але калі яны аказваюцца менш дзельніка, то працаваць належыць з першымі трыма лічбамі.

Існуе яшчэ адзін нюанс у такім дзяленні. Справа ў тым, што рэшта і знесенай да яго лічба часам не дзеляцца на дзельнік. Тады належыць прыпісаць яшчэ адну лічбу па парадку. Але пры гэтым у адказ неабходна паставіць нуль. Калі ажыццяўляецца дзяленне трохзначных лікаў у слупок, то можа спатрэбіцца знесці больш за два лічбаў. Тады ўводзіцца правіла: нулёў ў адказе павінна быць на адзін менш, чым колькасць знесеных лічбаў.

Разгледзець такі падзел можна на прыкладзе - 12082: 863.

• Няпоўным дзелім ў ім аказваецца лік 1208. У яго лік 863 змяшчаецца толькі адзін раз. Таму ў адказ належыць паставіць 1, а пад 1208 запісаць 863.
• Пасля вылічэння атрымліваецца рэшту 345.
• Да яго трэба знесці лічбу 2.
• У ліку 3452 чатыры разы змяшчаецца 863.
• Чацвёрку неабходна запісаць у адказ. Прычым пры памнажэньні на 4 атрымліваецца менавіта гэты лік.
• Рэшту пасля вылічэння роўны нулю. Гэта значыць дзяленне скончана.

Адказам у прыкладзе будзе лік 14.

Як быць, калі падзельнае заканчваецца на нуль?

Або некалькі нулёў? У гэтым выпадку нулявы рэшту атрымліваецца, а ў дзелім яшчэ стаяць нулі. Адчайвацца не варта, усё прасцей, чым можа здацца. Дастаткова проста прыпісаць да адказу ўсё нулі, якія засталіся не падзеленымі.

Напрыклад, трэба падзяліць 400 на 5. Няпоўнае падзельнае 40. У яго 8 раз змяшчаецца пяцёрка. Значыць, у адказ належыць запісаць 8. Пры адніманні астатку не застаецца. Гэта значыць дзяленне скончана, але ў дзелім застаўся нуль. Яго прыйдзецца прыпісаць да адказу. Такім чынам, пры дзяленні 400 на 5 атрымліваецца 80.

Што рабіць, калі падзяліць трэба дзесятковы дроб?

Зноў жа, гэта лік падобна на натуральнае, калі б не коска, якая аддзяляе цэлую частку ад дробавай. Гэта наводзіць на думку аб тым, што дзяленне дзесятковых дробаў ў слупок падобна таму, якое было апісана вышэй.

Адзіным адрозненнем будзе пункт з коскі. Яе належыць паставіць у адказ адразу, як толькі знесена першая лічба з дробавай часткі. Па-іншаму гэта можна сказаць так: скончылася дзяленне цэлай часткі - пастаў коску і працягвай рашэнне далей.

Ў час вырашэння прыкладаў на дзяленне ў слупок з дзесятковымі дробамі трэба памятаць, што ў часткі пасля коскі можна прыпісаць любую колькасць нулёў. Часам гэта трэба для таго, каб доделить колькасці да канца.

Дзяленне двух дзесятковых дробаў

Яно можа здацца складаным. Але толькі спачатку. Бо тое, як выканаць дзяленне ў слупок дробаў на натуральны лік, ужо зразумела. Значыць, трэба звесці гэты прыклад да ўжо звыклым ўвазе.

Зрабіць гэта лёгка. Трэба памножыць абедзве дробу на 10, 100, за 1 000 ці 10 000, а можа быць, на мільён, калі гэтага патрабуе задача. Множнік належыць выбіраць зыходзячы з таго, колькі нулёў стаіць у дзесятковай часткі дзельніка. Гэта значыць, у выніку атрымаецца, што дзяліць прыйдзецца дроб на натуральны лік.

Прычым гэта будзе ў горшым выпадку. Бо можа атрымацца так, што падзельнае ад гэтай аперацыі стане цэлым лікам. Тады рашэнне прыкладу з дзяленнем ў слупок дробаў звядзецца да самага простага варыянту: аперацыі з натуральнымі лікамі.

У якасці прыкладу: 28,4 дзелім на 3,2:

• Спачатку іх неабходна памножыць на 10, паколькі ў другім ліку пасля коскі варта толькі адна лічба. Множанне дасць 284 і 32.
• Іх належыць падзяліць. Прычым адразу ўсе лік 284 на 32.
• Першым падабраным лікам для адказу з'яўляецца 8. Ад яго множання атрымліваецца 256. Рэшткі будзе 28.
• Дзяленне цэлай часткі скончылася, і ў адказ належыць паставіць коску.
• Знесці да рэшты 0.
• Зноў ўзяць па 8.
• Рэшту: 24. Да яго прыпісаць яшчэ адзін 0.
• Зараз браць трэба 7.
• Вынік множання - 224, рэшту - 16.
• Знесці яшчэ адзін 0. Узяць па 5 і атрымаецца якраз 160. Рэшту - 0.

Дзяленне скончана. Вынік прыкладу 28,4: 3,2 роўны 8,875.

Што рабіць, калі дзельнік роўны 10, 100, 0,1, або 0,01?

Гэтак жа як і з памнажэннем, дзяленне ў слупок тут не спатрэбіцца. Дастаткова проста пераносіць коску ў патрэбны бок на пэўную колькасць лічбаў. Прычым па гэтым прынцыпе можна вырашаць прыклады як з цэлымі лікамі, так і з дзесятковымі дробамі.

Такім чынам, калі трэба дзяліць на 10, 100 або за 1 000, то коска пераносіцца налева на такую колькасць лічбаў, колькі нулёў у дзельніку. Гэта значыць, калі лік дзеліцца на 100, коска павінна зрушыцца налева на дзве лічбы. Калі падзельнае - натуральны лік, то маецца на ўвазе, што коска стаіць у яго канцы.

Гэта дзеянне дае такі ж вынік, як калі б колькасць было неабходна памножыць на 0,1, 0,01 або 0,001. У гэтых прыкладах коска таксама пераносіцца налева на колькасць лічбаў, роўнае даўжыні дробавай часткі.

Пры дзяленні на 0,1 (і т. Д.) Або памнажэньні на 10 (і т. Д.) Коска павінна перамясціцца направа на адну лічбу (ці дзве, тры, у залежнасці ад колькасці нулёў або даўжыні дробавай часткі).

Варта адзначыць, што колькасці лічбаў, дадзеных у дзелім, можа быць недастатковым. Тады злева (у цэлай часткі) ці справа (пасля коскі) можна прыпісаць адсутнічаюць нулі.

Дзяленне перыядычных дробаў

У гэтым выпадку не атрымаецца атрымаць дакладны адказ пры дзяленні ў слупок. Як вырашаць прыклад, калі сустрэлася дроб з перыядам? Тут належыць пераходзіць да звычайны дроб. А потым выконваць іх падзел па вывучаных раней правілах.

Напрыклад падзяліць трэба 0, (3) на 0,6. Першая дроб - перыядычная. Яна пераўтворыцца ў дроб 3/9, якая пасля скарачэння дасць 1/3. Другая дроб - канчатковая дзесятковая. Яе запісаць звычайнай яшчэ прасцей: 6/10, што роўна 3/5. Правіла дзялення звычайных дробаў загадвае замяняць дзяленне множаннем і дзельнік - зваротным лікам. То ёсць прыклад зводзіцца да множаньню 1/3 на 5/3. Адказам будзе 5/9.

Калі ў прыкладзе розныя дробу ...

Тады магчымыя некалькі варыянтаў рашэння. Па-першае, звычайны дроб можна паспрабаваць перавесці ў дзесятковы. Потым дзяліць ўжо дзве дзесятковыя па паказаным вышэй алгарытме.

Па-другое, кожная канчатковая дзесятковы дроб можа быць запісана ў выглядзе звычайнай. Толькі гэта не заўсёды зручна. Часцей за ўсё такія дробу аказваюцца велізарнымі. Ды і адказы атрымліваюцца грувасткімі. Таму першы падыход лічыцца больш пераважнай.