Адукацыя, Сярэднюю адукацыю і школы
Круг Эйлера. Кругі Эйлера - прыклады ў логіцы
Леанард Эйлер (1707-1783) - вядомы швейцарскі і расійскі матэматык, член Пецярбургскай акадэміі навук, большую частку жыцця пражыў у Расіі. Найбольш вядомым у матэматычным аналізе, статыстыцы, інфарматыцы і логіцы лічыцца круг Эйлера (дыяграма Эйлера-Венна), які выкарыстоўваецца для абазначэння аб'ёму паняццяў і мностваў элементаў.
Джон Венн (1834-1923) - ангельскі філосаф і логік, сааўтар дыяграмы Эйлера-Венна.
Сумяшчальныя і несумяшчальныя паняцці
Пад паняццем ў логіцы маецца на ўвазе форма мыслення, якая адлюстроўвае істотныя прыкметы класа аднародных прадметаў. Яны абазначаюцца адным або групай слоў: «карта свету», «доминантовый квинтсептаккорд», «панядзелак" і інш.
У выпадку калі элементы аб'ёму аднаго паняцця поўнасцю або часткова належаць аб'ёме іншага, кажуць аб сумяшчальных паняццях. Калі ж ні адзін элемент аб'ёму пэўнага паняцця не належыць да аб'ёму іншага, мы маем месца з несумяшчальнымі паняццямі.
У сваю чаргу, кожны з відаў паняццяў мае ўласны набор магчымых адносін. Для сумяшчальных паняццяў гэта наступныя:
- тоеснасць (раўназначнага) аб'ёмаў;
- скрыжаванне (частковае супадзенне) аб'ёмаў;
- падпарадкаванне (субардынацыя).
Для несумяшчальных:
- супадпарадкаванне (каардынацыя);
- супрацьлегласць (контрарность);
- супярэчнасць (контрадикторность).
Схематычна адносіны паміж паняццямі ў логіцы прынята пазначаць пры дапамозе колаў Эйлера-Венна.
адносіны раўназначнасці
У дадзеным выпадку паняцці маюць на ўвазе адзін і той жа прадмет. Адпаведна, аб'ёмы дадзеных паняццяў цалкам супадаюць. напрыклад:
А - Зігмунд Фрэйд;
У - заснавальнік псіхааналізу.
альбо:
А - квадрат;
В - роўнабаковага прастакутнік;
З - равноугольный ромб.
Для абазначэння выкарыстоўваюцца цалкам супадаючыя кругі Эйлера.
Скрыжаванне (частковае супадзенне)
У дадзеную катэгорыю ўваходзяць паняцці, якія маюць агульныя элементы, якія знаходзяцца ў дачыненні да перакрыжоўванне. Гэта значыць аб'ём аднаго з паняццяў часткова ўваходзіць у аб'ём іншага:
А - педагог;
В - меламан.
Як відаць з дадзенага прыкладу, аб'ёмы паняццяў часткова супадаюць: пэўная група педагогаў можа апынуцца меламанамі, і наадварот - сярод меламанаў могуць быць прадстаўнікі педагагічнай прафесіі. Аналагічнае стаўленне будзе ў выпадку, калі ў якасці паняцці А выступае, напрыклад, «гараджанін», а ў якасці В - «аўтавадзіцелі».
Падпарадкаванне (субардынацыя)
Схематычна абазначаюцца як розныя па маштабе кругі Эйлера. Адносіны паміж паняццямі ў дадзеным выпадку характарызуюцца тым, што падпарадкаванае паняцце (меншае па аб'ёме) цалкам уваходзіць у склад падпарадкоўвае (большага па аб'ёме). Пры гэтым падпарадкаванае паняцце не вычэрпвае цалкам падпарадкоўваецца.
напрыклад:
А - дрэва;
В - хвоя.
Паняцце У будзе з'яўляцца падначаленым ў адносінах да паняцця А. Так што сасна ставіцца да дрэў, то паняцце А становіцца ў дадзеным прыкладзе падпарадкоўвае, «паглынальным» аб'ём паняцця В.
Супадпарадкаванне (каардынацыя)
Стаўленне характарызуе два і больш паняцці, якія выключаюць адзін аднаго, але належаць пры гэтым вызначаным агульнаму радавога крузе. напрыклад:
А - кларнет;
У - гітара;
З - скрыпка;
D - музычны інструмент.
Паняцці А, У, З не з'яўляюцца перасякальнымі ў адносінах адзін да аднаго, тым не менш, усе яны ставяцца да катэгорыі музычных інструментаў (паняцце D).
Супрацьлегласць (контрарность)
Супрацьлеглыя адносіны паміж паняццямі маюць на ўвазе аднясеннем гэтых паняццяў да аднаго і таго ж роду. Пры гэтым адно з паняццяў валодае пэўнымі ўласцівасцямі (прыкметамі), у той час як яшчэ адну іхнюю адмаўляе, замяшчаючы супрацьлеглымі па характары. Такім чынам, мы маем справу з Антонімы. напрыклад:
А - карлік;
В - волат.
Круг Эйлера пры процілеглых адносінах паміж паняццямі падзяляецца на тры сегмента, першы з якіх адпавядае паняццю А, другі - паняццю У, а трэці - усім астатнім магчымым паняццях.
Супярэчнасць (контрадикторность)
У дадзеным выпадку абодва паняцці ўяўляюць сабой віды аднаго і таго ж роду. Як і ў папярэднім прыкладзе, адно з паняццяў паказвае на пэўныя якасці (прыкметы), у той час як яшчэ адну іхнюю адмаўляе. Аднак, у адрозненне ад стаўлення супрацьлегласці, другое, супрацьлеглае паняцце, не замяняе адмаўляў ўласцівасці іншымі, альтэрнатыўнымі. напрыклад:
А - складаная задача;
У - нескладаная задача (не-А).
Выказваючы аб'ём паняццяў падобнага роду, круг Эйлера падзяляецца на дзве часткі - трэцяга, прамежкавага звяна ў дадзеным выпадку не існуе. Такім чынам, паняцці таксама з'яўляюцца Антонімы. Пры гэтым адно з іх (А) становіцца станоўчым (якія сцвярджаюць якой-небудзь прыкмета), а другое (У або не-А) - адмоўным (адмаўляў адпаведны прыкмета): «белая папера» - «не белая папера», «айчынная гісторыя» - «замежная гісторыя» і т. д.
Такім чынам, суадносіны аб'ёмаў паняццяў па адносінах адзін да аднаго з'яўляецца ключавой характарыстыкай, якая вызначае кругі Эйлера.
Адносіны паміж мноствамі
Таксама варта адрозніваць паняцці элементаў і мноства, аб'ём якіх адлюстроўваюць кругі Эйлера. Паняцце мноства запазычанае з матэматычнай навукі і мае дастаткова шырокае значэнне. Прыклады ў логіцы і матэматыцы адлюстроўваюць яго як нейкую сукупнасць аб'ектаў. Самі ж аб'екты з'яўляюцца элементамі дадзенага мноства. "Мноства ёсць многае, памыснае як адзінае» (Георг Кантар, заснавальнік тэорыі мностваў).
Абазначэнне мностваў ажыццяўляецца загалоўнымі літарамі: А, У, З, D ... і т. Д., Элементаў мностваў - малымі: а, b, с, d ... і інш. Прыкладамі мноства могуць быць студэнты, якія знаходзяцца ў адной аўдыторыі, кнігі, якія стаяць на пэўнай паліцы (ці, напрыклад, усе кнігі ў якой-небудзь пэўнай бібліятэцы), старонкі ў штодзённіку, ягады на лясной паляне і т. д.
У сваю чаргу, але толькі калі Вы мноства не ўтрымлівае ні аднаго элемента, то яго называюць пустым і пазначаюць знакам Ø. Напрыклад, мноства кропак перасячэння паралельных прамых, мноства рашэнняў ўраўненні х 2 = -5.
рашэнне задач
Для вырашэння вялікай колькасці задач актыўна выкарыстоўваюцца кругі Эйлера. Прыклады ў логіцы наглядна дэманструюць сувязь лагічных аперацый з тэорыяй мностваў. Пры гэтым выкарыстоўваюцца табліцы праўдзівасці паняццяў. Напрыклад, круг, пазначаны імем А, уяўляе сабой вобласць праўдзівасці. Такім чынам, вобласць па-за круга будзе прадстаўляць хлусня. Каб вызначыць вобласць дыяграмы для лагічнай аперацыі, варта заштрыхаваная вобласці, якія вызначаюць круг Эйлера, у якіх яе значэння для элементаў А і В будуць праўдзівыя.
Выкарыстанне колаў Эйлера знайшло шырокае практычнае прымяненне ў розных галінах. Напрыклад, у сітуацыі з прафесійным выбарам. Калі суб'ект заклапочаны выбарам будучай прафесіі, ён можа кіравацца наступнымі крытэрамі:
W - што я люблю рабіць?
D - што ў мяне атрымліваецца?
P - чым я змагу добра зарабляць?
Выявім гэта ў выглядзе схемы: кругі Эйлера (прыклады ў логіцы - стаўленне перасячэння):
Вынікам стануць тыя прафесіі, якія апынуцца на скрыжаванні ўсіх трох колаў.
Асобнае месца кругі Эйлера-Венна займаюць у матэматыцы (тэорыя мностваў) пры вылічэнні камбінацый і уласцівасцяў. Кругі Эйлера мноства элементаў заключаны ў малюнку прамавугольніка, які пазначае ўніверсальнае мноства (U). Замест колаў таксама могуць выкарыстоўвацца іншыя замкнёныя фігуры, але сутнасць ад гэтага не змяняецца. Фігуры перасякаюцца паміж сабой, згодна з умовамі задачы (у найбольш агульным выпадку). Таксама дадзеныя фігуры павінны быць пазначаныя адпаведным чынам. У якасці элементаў разгляданых мностваў могуць выступаць кропкі, размешчаныя ўнутры розных сегментаў дыяграмы. На яе аснове можна заштрыхаваная канкрэтныя вобласці, пазначыўшы тым самым ізноў адукаваныя мноства.
З дадзенымі мноствамі дапушчальна выкананне асноўных матэматычных аперацый: складанне (сума мностваў элементаў), адніманне (Розьніца), множанне (твор). Акрамя таго, дзякуючы дыяграмы Эйлера-Венна можна праводзіць аперацыі параўнання мностваў па ліку якія ўваходзяць у іх элементаў, не лічачы іх.
Similar articles
Trending Now