Зноў у школу. складанне каранёў

У наш час сучасных электронных вылічальных машын вылічэнне кораня з ліку не ўяўляецца складанай задачай. Напрыклад, √2704 = 52, гэта вам падлічыць любы калькулятар. На шчасце, калькулятар ёсць не толькі ў Windows, але і ў звычайным, нават самай простай, тэлефоне. Праўда калі раптам (з малой доляй верагоднасці, вылічэнне якой, між іншым, уключае ў сябе складанне каранёў) вы апыніцеся без даступных сродкаў, то, на жаль, давядзецца разлічваць толькі на свае мазгі.

Трэніроўка розуму ніколі не змяшчае. Асабліва для тых, хто не так часта працуе з лічбамі, а ўжо тым больш з каранямі. Складанне і адніманне каранёў - добрая размінка для абыякавага розуму. А яшчэ я пакажу паэтапна складанне каранёў. Прыклады выразаў могуць быць наступныя.

Раўнанне, якое трэба спрасціць:

√2 + 3√48-4 × √27 + √128

Гэта іррацыянальнае выраз. Для таго каб яго спрасціць трэба прывесці ўсе падка- рэнны выразы да агульнага ўвазе. Робім паэтапна:

Першае чысло спрасціць ўжо нельга. Пераходзім да другога складаю.

3√48 раскладваем 48 на множнікі: 48 = 2 × 24 або 48 = 3 × 16. Квадратны корань з 24 не з'яўляецца цэлалікавых, г.зн. мае дробны рэшту. Бо нам трэба дакладнае значэнне, то прыблізныя карані нам не падыходзяць. Квадратны корань з 16 роўны 4, вынось яго з-пад знака кораня. Атрымліваем: 3 × 4 × √3 = 12 × √3

Наступнае выраз у нас з'яўляецца адмоўным, г.зн. напісана са знакам мінус -4 × √ (27.) Раскладваем 27 на множнікі. Атрымліваем 27 = 3 × 9. Мы не выкарыстоўваем дробавыя множнікі, таму што з дробаў вылічаць квадратны корань складаней. Выносім 9 з-пад знака, г.зн. вылічаем квадратны корань. Атрымліваем наступнае выраз: -4 × 3 × √3 = -12 × √3

Наступнае складнік √128 вылічаем частка, якую можна вынесці з-пад кораня. 128 = 64 × 2, дзе √64 = 8. Калі вам будзе лягчэй можна ўявіць гэты выраз так: √128 = √ (8 ^ 2 × 2)

Перапісваем выраз з спрошчанымі складнікамі:

√2 + 12 × √3-12 × √3 + 8 × √2

Цяпер складаем колькасці адным і тым жа падка- рэнны выразам. Нельга складаць або адымаць выразы з рознымі падка- рэнны выразамі. Складанне каранёў патрабуе захаванне гэтага правіла.

Адказ атрымліваем наступны:

√2 + 12√3-12√3 + 8√2 = 9√2

√2 = 1 × √2 - спадзяюся, тое, што ў алгебры прынята апускаць падобныя элементы, не стане для вас навіной.

Выразы могуць быць прадстаўлены не толькі квадратным коранем, але так жа і з кубічных або коранем n-най ступені.

Складанне і адніманне каранёў з рознымі паказчыкамі ступені, але з раўназначным падка- рэнны выразам, адбываецца наступным чынам:

Калі мы маем выраз выгляду √a + ∛b + ∜b, то мы можам спрасціць гэты выраз так:

∛b + ∜b = 12 × √b4 + 12 × √b3

12√b4 + 12 × √b3 = 12 × √b4 + b3

Мы прывялі два падобных члена да агульнага паказчыку кораня. Тут выкарыстоўвалася ўласцівасць каранёў, якое абвяшчае: калі лік ступені падка- рэнны выказвання і лік паказчыка кораня памножыць на адно і тое ж лік, то яго вылічэнне застанецца нязменным.

На заметку: паказчыкі ступені складаюцца толькі пры множанні.

Разгледзім прыклад, калі ў выразе прысутнічаюць дробу.

5√8-4 × √ (1/4) + √72-4 × √2

Будзем вырашаць па этапах:

5√8 = 5 * 2√2 - мы выносім з-пад кораня вымаемую частку.

- 4√ (1/4) = - 4 √1 / (√4) = - 4 * 1/2 = - 2

Калі ў цела кораня прадстаўлена шротам, то часта гэтай дробу не змяніцца, калі выняць квадратны корань з дзеліва і дзельніка. У выніку мы атрымалі апісанае вышэй роўнасць.

√72-4√2 = √ (36 × 2) - 4√2 = 2√2

10√2 + 2√2-2 = 12√2-2

Вось і атрымаўся адказ.

Галоўнае памятаць, што з адмоўных лікаў не здабываецца корань з цотных паказчыкам ступені. Калі цотным ступені падка- рэнны выраз з'яўляецца адмоўным, то выраз з'яўляецца невырашальнай.

Складанне каранёў магчыма толькі пры супадзенні падка- рэнны выразаў, так як яны з'яўляюцца падобнымі складнікамі. Тое ж самае ставіцца і да рознасці.

Складанне каранёў з рознымі лікавымі паказчыкамі ступені вырабляцца з дапамогай прывядзення да агульнай каранёвай ступені абодвух складнікаў. Гэта закон дзейнічае так жа як прывядзенне да агульнага назоўніка пры складанні або адніманні дробаў.

Калі ў падка- рэнны выразе маецца лік, збудаванае ў ступень, то гэта выраз можна спрасціць пры ўмове, што паміж паказчыкам кораня і ступені існуе агульны назоўнік.