Як вырабіць знаходжанне вызначальніка матрыцы?

Знаходжанне вызначальніка матрыцы з'яўляецца важным дзеяннем не толькі для лінейнай алгебры: так, напрыклад, у эканоміцы пры дапамозе гэтага вылічэнні вырашаюцца сістэмы лінейных раўнанняў з многімі невядомымі, шырока прымяняюцца ў эканамічных задачах.

паняцце вызначальніка

Вызначальнікам, або дэтэрмінанты, матрыцы называюць велічыню, роўную аб'ёму паралелепіпеда, пабудаванага на яе вектарах-радках альбо слупках. Вылічыць гэтую велічыню можна толькі для квадратнай матрыцы, у якой колькасць радкоў і слупкоў аднолькава. Калі члены матрыцы - лікі, то і дэтэрмінант будзе лікам.

вылічэнне вызначальнікаў

Варта памятаць, што існуе некалькі правілаў, якія могуць значна палегчыць падобныя разлікі.

Так дэтэрмінант матрыцы, якая складаецца з аднаго члена, роўны адзінаму яе элементу. Вылічыць вызначальнік другога парадку няцяжка, для гэтага дастаткова з твора членаў галоўнай дыяганалі адняць твор элементаў, размешчаных на пабочнай дыяганалі.

Вылічэнне вызначальніка 3 парадку прасцей за ўсё праводзіць па правіле трыкутніка. Для гэтага выконваем наступныя дзеянні:

1. Знаходзім твор трох членаў матрыцы, размешчаных на яе галоўнай дыяганалі.
2. Перамнажаюцца па тры члена, якія знаходзяцца на трыкутніках, падставы якіх раўналежныя галоўнай дыяганалі.
3. Паўтараем першае і другое дзеянне для пабочнай дыяганалі.
4. Знаходзім суму ўсіх атрыманых у папярэдніх разліках значэнняў, пры гэтым ліку, атрыманыя ў трэцім пункце, бярэм са знакам мінус.

Каб з лёгкасцю правесці знаходжанне вызначальніка матрыцы 4 парадку, а таксама больш высокіх памернасцяў, неабходна разгледзець ўласцівасці, якімі валодаюць усе дэтэрмінанты:

1. Значэнне вызначальніка не мяняецца пасля Транспанаванне матрыцы.
2. Перастаноўка месцамі двух суседніх радкоў ці слупкоў вядзе да змены знака дэтэрмінанты.
3. Калі ў матрыцы маецца дзве роўных радкі альбо слупка, ці ўсе элементы слупка (радкі) нулявыя, то яе вызначальнік роўны нулю.
4. Множанне лікаў матрыцы на якое-небудзь лік вядзе да павелічэння яе дэтэрмінанты ў такое ж колькасць разоў.

Выкарыстанне вышэйназваных уласцівасцяў дапамагае з лёгкасцю ажыццяўляць знаходжанне вызначальніка матрыцы любога парадку. Напрыклад, выкарыстоўваючы для гэтага метад паніжэння парадку, пры якім адбываецца раскладанне дэтэрмінанты па элементах радка (слупка), памножаныя на алгебраічнай дадатак.

Яшчэ адным спосабам, які значна спрашчае знаходжанне вызначальніка матрыцы, з'яўляецца прывядзенне яе да трохкутнай ўвазе, калі ўсе элементы, якія знаходзяцца пад галоўнай дыяганаллю роўныя нулю. У дадзеным выпадку дэтэрмінант матрыцы разлічваецца як твор лікаў, размешчаных на гэтай дыяганалі.

І напрыканцы хацелася б адзначыць, што вылічэнне вызначальнікаў, хоць і складаецца з, здавалася б, нескладаных матэматычных разлікаў, аднак патрабуе значнай ўважлівасці і ўседлівасці.