Сістэмы злічэння. Прыклад непозиционных сістэм злічэння

Сістэмы злічэння - што гэта? Нават не ведаючы адказу на гэтае пытанне, кожны з нас нехаця ў сваім жыцці карыстаецца сістэмамі злічэння і ня падазрае пра гэта. Менавіта так, у множным ліку! То бок, не адной, а некалькімі. Перш чым прывесці прыклады непозиционных сістэм злічэння, давайце разбярэмся ў гэтым пытанні, пагаворым і пра пазіцыйных сістэмах таксама.

Патрэба ў рахунку

З старажытнасці людзі мелі патрэбу ў ліку, то ёсць інтуітыўна ўсведамлялі, што трэба нейкім чынам выказаць колькаснае бачанне рэчаў і падзей. Мозг падказваў, што неабходна выкарыстоўваць прадметы для рахунку. Найбольш зручнымі заўсёды былі пальцы на руках, і гэта зразумела, бо яны заўсёды ў наяўнасці (за рэдкімі выключэннямі).

Вось і даводзілася старажытным прадстаўнікам роду чалавечага загінаць пальцы ў прамым сэнсе - пазначаць колькасць забітых мамантаў, напрыклад. Назваў у такіх элементаў рахункі яшчэ не было, а толькі візуальная карцінка, супастаўленне.

Сучасныя пазіцыйныя сістэмы злічэння

Сістэма злічэння - гэта метад (спосаб) паняццяў колькасных значэнняў і велічынь з дапамогай пэўных знакаў (знакаў або літар).

Неабходна разумець, што такое пазіцыйных і непозиционность ў ліку, перш чым прыводзіць прыклады непозиционных сістэм злічэння. Пазіцыйных сістэм злічэння мноства. Зараз выкарыстоўваюць у розных галінах ведаў наступныя: двойкавую (уключае толькі два значных элемента: 0 і 1), шестеричную (колькасць знакаў - 6), васьмярковай (знакаў - 8), двенадцатеричную (дванаццаць знакаў), шаснаццатковай (уключае шаснаццаць знакаў). Прычым кожны шэраг знакаў у сістэмах пачынаецца з нуля. Сучасныя камп'ютэрныя тэхналогіі заснаваныя на выкарыстанні двайковых кодаў - двайковай пазіцыйнай сістэмы злічэння.

Дзесятковая сістэма злічэння

Пазіцыйных лічыцца наяўнасць у рознай ступені значных пазіцый, на якіх размяшчаюцца знакі колькасці. Лепш за ўсё гэта можна прадэманстраваць на прыкладзе дзесятковай сістэмы злічэння. Бо менавіта ёю мы прывыклі карыстацца з самага дзяцінства. Знакаў у гэтай сістэме дзесяць: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Возьмем лік 327. У ім маюцца тры знака: 3, 2, 7. Кожны з іх размешчаны на сваёй пазіцыі ( месцы). Сямёрка займае пазіцыю, адведзеную пад адзінкавыя значэння (адзінкі), двойка - дзясяткі, а тройка - сотні. Бо лік трохзначны, такім чынам, пазіцый у ім усяго тры.

Зыходзячы з вышэйсказанага, такое трохзначны дзесятковы лік можна апісаць наступным чынам: тры сотні, два дзесяткі і сем адзінак. Прычым значнасць (важнасць) пазіцый адлічваецца злева направа, ад слабой пазіцыі (адзінкі) да больш моцнай (сотні).

Нам вельмі зручна сябе адчуваць у дзесятковай пазіцыйнай сістэме злічэння. У нас на руках дзесяць пальцаў, на нагах - таксама. Пяць плюс пяць - так, дзякуючы пальцах, мы з дзяцінства лёгка ўяўляем сабе дзесятак. Вось чаму бывае лёгка дзецям вучыць табліцу множання на пяць і на дзесяць. А яшчэ так проста навучыцца лічыць грашовыя банкноты, якія часцей за ўсё кратныя (гэта значыць дзеляцца без астатку) на пяць і на дзесяць.

Іншыя пазіцыйныя сістэмы злічэння

Да здзіўлення многіх, варта сказаць, што не толькі ў дзесятковай сістэме рахункі наш мозг прывык рабіць нейкія разлікі. Да гэтага часу чалавецтва карыстаецца шестеричной і двенадцатеричной сістэмамі злічэння. Гэта значыць, у такой сістэме існуе толькі шэсць знакаў (у шестеричной): 0, 1, 2, 3, 4, 5. У двенадцатеричной іх дванаццаць: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , А, У, дзе А - пазначае лік 10, В - лік 11 (так як знак павінен быць адзін).

Мяркуйце самі. Мы лічым час шасцёркамі, ці не так? Адну гадзіну - шэсцьдзесят хвілін (шэсць дзясяткаў), адны суткі - гэта дваццаць чатыры гадзіны (два разы па дванаццаць), год - дванаццаць месяцаў і гэтак далей ... Усё часовыя інтэрвалы лёгка ўкладваюцца ў шасці-і двенадцатеричные шэрагі. Але мы настолькі да гэтага прызвычаіліся, што нават не задумваемся пры адліку часу.

Непозиционные сістэмы злічэння. Унарный

Неабходна вызначыцца ў тым, што гэта такое - непозиционная сістэма злічэння. Гэта такая знакавая сістэма, у якой няма пазіцый для знакаў ліку, або прынцып "прачытання" ліку ад пазіцыі не залежыць. У ёй таксама існуюць свае правілы запісы або вылічэнняў.

Прывядзём прыклады непозиционных сістэм злічэння. Вернемся да старажытнасці. Людзі мелі патрэбу ў рахунку і прыдумалі найбольш простае вынаходніцтва - вузельчыкі. Непозиционной сістэмай злічэння з'яўляецца вузельчыкавая. Адзін прадмет (мяшок рысу, бык, стог сена і інш.) Адлічвалі, напрыклад, пры куплі або продажы і завязвалі вузельчык на вяровачцы.

У выніку на вяроўцы атрымлівалася столькі вузельчыкаў, колькі мяшкоў рысу куплена (як прыклад). Але таксама гэта маглі быць насяканні на драўлянай палачцы, на каменнай пліце і г.д. Такая сістэма злічэння стала называцца вузельчыкавай. У яе існуе другая назва - Унарный, або адзінкавая ( "уно" на латыні азначае "адзін").

Становіцца відавочным, што дадзеная сістэма злічэння - непозиционная. Бо аб якіх пазіцыях можа ісці гаворка, калі яна (пазыцыя) усяго адна! Як ні дзіўна, у некаторых кутках Зямлі да гэтага часу ў ходу Унарный непозиционная сістэма злічэння.

Таксама да непозиционным сістэмах злічэння адносяць:

• рымскую (для напісання лікаў выкарыстоўваюцца літары - лацінскія знакі);
• старажытнаегіпецкіх (падобная на рымскую, таксама выкарыстоўваліся знакі);
• алфавітным (выкарыстоўваліся літары алфавіту);
• Вавілонскую (клінапіс - выкарысталі прамой і превернутый "клін");
• грэцкую (таксама адносяць да алфавітнай).

Рымская сістэма злічэння

Старажытная рымская імперыя, а таксама яе навука, была вельмі прагрэсіўнай. Рымляне далі свету мноства карысных вынаходстваў навукі і мастацтва, у тым ліку сваю сістэму рахунку. Дзве сотні гадоў таму рымскія колькасці выкарыстоўвалі для абазначэння сум у дзелавых дакументах (такім чынам пазбягалі падробкі).

Рымская нумарацыя - прыклад непозиционной сістэмы злічэння, яна вядомая нам цяпер. Таксама рымская сістэма актыўна выкарыстоўваецца, але не для матэматычных разлікаў, а для вузка накіраваных дзеянняў. Напрыклад, з дапамогай рымскіх лікаў прынята пазначаць гістарычныя даты, стагоддзя, нумары тамоў, раздзелаў і кіраўнікоў у кніжных выданнях. Часта выкарыстоўваюць рымскія знакі для афармлення цыферблатаў гадзін. А таксама рымская нумарацыя з'яўляецца прыкладам непозиционной сістэмы злічэння.

Рымляне пазначалі лічбы літарамі лацінкі. Прычым чысла яны запісвалі па пэўных правілах. Існуе пералік ключавых знакаў у рымскай сістэме злічэння, з дапамогай іх запісваліся ўсе лікі без выключэння.

Правілы складання лікаў

Патрабаванае лік атрымлівалася шляхам складання знакаў (літар лацінкі) і вылічэнні іх сумы. Разгледзім, як сімвалічна запісваюцца знакі ў рымскай сістэме і як трэба іх "счытваць". Пералічым асноўныя законы фарміравання лікаў у рымскай непозиционной сістэме злічэння.

1. Лік чатыры - IV, складаецца з двух знакаў (I, V - адзін і пяць). Яно атрымліваецца шляхам адымання меншага знака з большага, калі ён стаіць лявей. Калі меншы знак размешчаны справа, неабходна складаць, тады атрымаецца лік шэсць - VI.
2. Неабходна складаць два аднолькавых знака, якія стаяць побач. Напрыклад: СС - гэта 200 (З - 100), або ХХ - 20.
3. Калі першы знак колькасці менш другога, то трэцім у гэтым шэрагу можа быць знак, значэнне якога яшчэ меншы за першы. Каб не заблытацца, прывядзем прыклад: CDX - 410 (у дзесятковай).
4. Некаторыя буйныя ліку могуць быць прадстаўлены рознымі спосабамі, што з'яўляецца адным з мінусаў рымскай сістэмы рахунку. Прывядзём прыклады: MVM (рымская сістэма) = 1000 + (1000 - 5) = 1995 (дзесятковая сістэма) або MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) = 1995. І гэта яшчэ не ўсе спосабы.

прыёмы арыфметыкі

Непозиционная сістэма злічэння - гэта часам складаны набор правілаў фарміравання лікаў, іх апрацоўкі (дзеянняў над імі). Арыфметычныя аперацыі ў непозиционных сістэмах злічэння - справа няпростая для сучасных людзей. Не зайздросцім старажытнарымскім матэматыкам!

Прыклад складання. Паспрабуем скласці два ліку: XIX + XXVI = XXXV, гэта заданне выконваецца ў два дзеянні:

1. Першае - бярэм і складаем меншыя долі лікаў: IX + VI = XV (I пасля V і I перад X "знішчаюць" адзін аднаго).
2. Другое - складаем вялікія долі двух лікаў: X + XX = XXX.

Адніманне выконваецца некалькі складаней. Змяншацца колькасць патрабуецца разбіць на складовыя элементы, а пасля гэтага ў памяншаецца і адымаецца скараціць дублируемые сімвалы. З ліку 500 аднімем 263:

D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII = CCXXXVII.

Множанне рымскіх лікаў. Дарэчы, неабходна згадаць, што ў рымлян не мелася знакаў арифметичеких аперацый, яны проста словамі пазначалі іх.

Множимое лік памнажаць трэба было на кожны асобны знак множніка, атрымлівалася некалькі твораў, якія неабходна было скласці. Такім спосабам вырабляюць множанне мнагачлена.

Што тычыцца дзялення, то гэты працэс у рымскай сістэме злічэння быў і застаецца найбольш складаным. Тут ўжываліся старажытныя рымскія лічыльнікі - абак. Каб працаваць з ім людзей спецыяльна навучалі (і ня кожнаму чалавеку атрымоўвалася такую навуку асвоіць).

Пра недахопы непозиционных сістэм

Як было сказана вышэй, у непозиционных сістэмах злічэння існуюць свае недахопы, нязручнасці ў выкарыстанні. Унарный дастатковая простая для простага рахунку, але для арыфметыкі і складаных вылічэнняў яна не падыходзіць зусім.

У рымскай адсутнічаюць адзіныя правілы фарміравання вялікіх лікаў і ўзнікае блытаніна, а таксама ў ёй вельмі складана вырабляць вылічэнні. Акрамя таго, самым вялікім лікам, якое маглі запісаць старажытныя рымляне з дапамогай свайго метаду, было 100000.