Раўнавагу па Нэшу. Тэорыя гульняў для эканамістаў (Джон Нэш)

У 1930-я гады Джон фон Нэйман і Оскар Моргенштэрн сталі заснавальнікамі новага цікавага напрамкі матэматыкі, якое атрымала назву "тэорыя гульняў". У 1950-я гады гэтым кірункам зацікавіўся малады матэматык Джон Нэш. Тэорыя раўнавагі стала тэмай яго дысертацыі, якую ён напісаў, будучы ва ўзросце 21 год. Так нарадзілася новая стратэгія гульняў пад назвай «Раўнавага па Нэшу», якая заслужыла Нобелеўскую прэмію праз шмат гадоў - у 1994 годзе.

Доўгі разрыў паміж напісаннем дысертацыі і усеагульным прызнаннем стаў выпрабаваннем для матэматыка. Геніяльнасць без прызнання вылілася ў сур'ёзныя ментальныя парушэнні, але і гэтую задачу Джон Нэш змог вырашыць дзякуючы выдатнаму логическуму розуму. Яго тэорыя "раўнавагу па Нэшу" ганаравалася прэміі Нобэля, а яго жыццё экранізацыі ў фільме «Beautiful mind» ( «Гульні розуму»).

Коратка аб тэорыі гульняў

Паколькі тэорыя раўнавагі Нэша тлумачыць паводзіны людзей ва ўмовах ўзаемадзеяння, таму варта разгледзець асноўныя паняцці тэорыі гульняў.

Тэорыя гульняў вывучае паводзіны ўдзельнікаў (агентаў) ва ўмовах ўзаемадзеяння адзін з адным па тыпу гульні, калі зыход залежыць ад рашэння і паводзін некалькіх людзей. Удзельнік прымае рашэнні, кіруючыся сваімі прагнозамі адносна паводзінаў астатніх, што і завецца гульнявой стратэгіяй.

Існуе таксама дамінуючая стратэгія, пры якой удзельнік атрымлівае аптымальны вынік пры любым паводзінах іншых удзельнікаў. Гэта найлепшая безпроигрышная стратэгія гульца.

Дылема зняволенага і навуковы прарыў

Дылема зняволенага - гэта выпадак з гульнёй, калі ўдзельнікі вымушаныя прымаць рацыянальныя рашэнні, дасягаючы агульнай мэты ва ўмове канфлікту альтэрнатыў. Пытанне заключаецца ў тым, які з гэтых варыянтаў ён абярэ, усведамляючы асабісты і агульны інтарэс, а таксама немагчымасць атрымаць і тое, і іншае. Гульцы нібы заключаны ў жорсткія гульнявыя ўмовы, што часам прымушае іх думаць вельмі плённа.

Гэтую дылему даследаваў амерыканскі матэматык Джон Нэш. Раўнавагу, якое ён вывеў, стала рэвалюцыйным ў сваім родзе. Асабліва ярка гэтая новая думка паўплывала на меркаванне эканамістаў пра тое, як робяць выбар гульцы рынка, улічваючы інтарэсы іншых, пры шчыльным узаемадзеянні і скрыжаванні інтарэсаў.

Лепш за ўсё вывучаць тэорыю гульняў на канкрэтных прыкладах, паколькі сама гэтая матэматычная дысцыпліна не з'яўляецца суха-тэарэтычнай.

Прыклад дылемы зняволенага

Прыклад, два чалавекі здзейснілі рабаванне, трапілі ў рукі паліцыі і праходзяць допыт у асобных камерах. Пры гэтым служыцелі паліцыі прапануюць кожнаму ўдзельніку выгадныя ўмовы, пры якіх ён выйдзе на волю ў выпадку дачы паказанняў супраць свайго напарніка. У кожнага з злачынцаў існуе наступны набор стратэгій, якія ён будзе разглядаць:

1. Абодва адначасова даюць паказанні і атрымліваюць па 2,5 гады ў турме.
2. Абодва адначасова маўчаць і атрымліваюць па 1 годзе, паколькі ў такім выпадку доказная база іх віны будзе малая.
3. Адзін дае паказанні і атрымлівае свабоду, а другі маўчыць і атрымлівае 5 гадоў турмы.

Відавочна, што зыход справы залежыць ад рашэння абодвух удзельнікаў, але згаварыцца яны не могуць, паколькі сядзяць у розных камерах. Таксама ярка бачны канфлікт іх асабістых інтарэсаў у барацьбе за агульны інтарэс. У кожнага з зняволеных ёсць два варыянты дзеянняў і 4 варыянту зыходаў.

Ланцуг лагічных высноў

Такім чынам, злачынец А разглядае наступныя варыянты:

1. Я маўчу і маўчыць мой напарнік - мы абодва атрымаем па 1 года турмы.
2. Я здаю напарніка і ён здае мяне - мы абодва атрымаем па 2,5 гады турмы.
3. Я маўчу, а напарнік мяне здае - я атрымаю 5 гадоў турмы, а ён свабоду.
4. Я здаю напарніка, а ён маўчыць - я атрымліваю свабоду, а ён 5 гадоў турмы.

Прывядзём матрыцу магчымых рашэнняў і зыходаў для нагляднасці.

Табліца верагодных зыходаў дылемы зняволенага.

Пытанне складаецца ў тым, што абярэ кожны ўдзельнік?

«Маўчаць, нельга казаць» або «маўчаць нельга, казаць»

Каб зразумець выбар ўдзельніка, трэба прайсці па ланцужку яго разважанняў. Вынікаючы разваг злачынца А: калі я прамаўчу і прамаўчыць мой напарнік, мы атрымаем мінімум тэрміну (1 год), але я не магу даведацца, як ён сябе павядзе. Калі ён дасць паказанні супраць мяне, то мне таксама лепш даць паказанні, інакш я магу сесці на 5 гадоў. Лепш мне сесці на 2,5 года, чым на 5 гадоў. Калі ён прамаўчыць, то мне тым больш трэба даць паказанні, паколькі так я атрымаю волю. Сапраўды гэтак жа разважае і ўдзельнік B.

Няцяжка зразумець, што дамінуючая стратэгія для кожнага з злачынцаў - гэта дача паказанняў. Аптымальная кропка гэтай гульні наступае тады, калі абодва злачынца даюць паказанні і атрымліваюць свой «прыз» - 2,5 гады турмы. Тэорыя гульняў Нэша называе гэта раўнавагай.

Неаптымальнай аптымальнае рашэнне па Нэшу

Рэвалюцыйнасць нэшевского погляду ў тым, што такая раўнавага не з'яўляецца аптымальным, калі разгледзець асобнага ўдзельніка і яго асабісты інтарэс. Бо найлепшы варыянт - гэта прамаўчаць і выйсці на волю.

Раўнавагу па Нэшу - гэта кропка судотыку інтарэсаў, дзе кожны ўдзельнік выбірае такі варыянт, які для яго аптымальны толькі пры ўмове, што іншыя ўдзельнікі выбіраюць пэўную стратэгію.

Разглядаючы варыянт, калі абодва злачынца маўчаць і атрымліваюць усяго па 1 годзе, можна назваць яго Парэта-аптымальным варыянтам. Аднак ён магчымы, толькі калі злачынцы змаглі б згаварыцца загадзя. Але нават гэта не гарантавала б гэтага зыходу, паколькі спакуса адступіць ад дамаўлення і пазбегнуць пакарання вялікі. Адсутнасць поўнага даверу адзін да аднаго і небяспека атрымаць 5 гадоў змушае выбраць варыянт з прызнаннем. Разважаць пра тое, што ўдзельнікі будуць прытрымлівацца варыянту з маўчаннем, дзейнічаючы узгоднена, проста нерацыянальна. Такую выснову можна зрабіць, калі вывучаць раўнавагу Нэша. Прыклады толькі даказваюць правату.

Эгаістычна ці рацыянальна

Тэорыя раўнавагі Нэша дала цудоўныя высновы, зняпраўдзіўшях існуючыя да гэтага прынцыпы. Напрыклад, Адам Сміт разглядаў паводзіны кожнага з удзельнікаў як абсалютна эгаістычнае, што і прыводзіла сістэму ў раўнавагу. Гэтая тэорыя насіла назву «нябачная рука рынку».

Джон Нэш ўбачыў, што калі ўсе ўдзельнікі будуць дзейнічаць, маючы на мэце толькі свае інтарэсы, то гэта ніколі не прывядзе да аптымальнага групавому выніку. Улічваючы, што рацыянальнае мысленне ўласціва кожнаму ўдзельніку, больш верагодны выбар, які прапануе стратэгія раўнавагі Нэша.

Чыста мужчынскі эксперымент

Яскравым прыкладам можа служыць гульня «парадокс бландынкі», якая хоць і здаецца недарэчнай, але з'яўляецца яркай ілюстрацыяй, што паказвае, як працуе тэорыя гульняў Нэша.

У гэтай гульні трэба прадставіць, што кампанія свабодных хлопцаў прыйшла ў бар. Побач аказваецца кампанія дзяўчат, адна з якіх пераважней іншых, скажам бландынка. Як хлопцам аповесці сябе, каб атрымаць найлепшую сяброўку для сябе?

Такім чынам, развагі хлопцаў: калі ўсе пачнуць знаёміцца з бландынкай, то, хутчэй за ўсё, яна нікому не дастанецца, тады і яе сяброўкі не захочуць знаёмствы. Ніхто не хоча быць другім запасным варыянтам. Але калі хлопцы абяруць пазбягаць бландынку, то верагоднасць кожнаму з хлопцаў знайсці сярод дзяўчат добрую сяброўку высокая.

Сітуацыя раўнавагі па Нэшу неаптымальнай для хлопцаў, паколькі, пераследуючы толькі свае эгаістычныя інтарэсы, кожны абраў бы менавіта бландынку. Відаць, што перасьлед толькі эгаістычных інтарэсаў будзе раўназначна краху групавых інтэрасаў. Раўнавагу па Нэшу будзе значыць тое, што кожны хлопец дзейнічае ў сваіх асабістых інтарэсах, якія датыкаюцца з інтарэсамі ўсёй групы. Гэта неаптымальнай варыянт для кожнага асабіста, але аптымальны для кожнага, зыходзячы з агульнай стратэгіі поспеху.

Уся наша жыццё гульня

Прыняцце рашэнняў у рэальных умовах вельмі нагадвае гульню, калі вы чакаеце пэўнага рацыянальнага паводзінаў і ад іншых удзельнікаў. У бізнесе, у працы, у калектыве, у кампаніі і нават у адносінах з процілеглым падлогай. Ад вялікіх здзелак і да звычайных жыццёвых сітуацый ўсё падпарадкоўваецца таму ці іншаму закону.

Вядома, разгледжаныя гульнявыя сітуацыі са злачынцамі і барам - гэта ўсяго толькі выдатныя ілюстрацыі, якія дэманструюць раўнавагу Нэша. Прыклады такіх дылем вельмі часта ўзнікаюць на рэальным рынку, а асабліва гэта працуе ў выпадках з двума манапалістамі, кантралюючымі рынак.

змешаныя стратэгіі

Часта мы вовлекаемы не ў адну, а адразу ў некалькі гульняў. Выбіраючы адзін з варыянтаў адной гульні, кіруючыся рацыянальнай стратэгіяй, але трапляеце ў іншую гульню. Пасля некалькіх рацыянальных рашэнняў вы можаце выявіць, што ваш вынік вас не задавальняе. Што ж рабіць?

Разгледзім два выгляду стратэгіі:

• Чыстая стратэгія - гэта паводзіны ўдзельніка, якое зыходзіць з разважанні над магчымым паводзінамі іншых удзельнікаў.
• Змяшаная стратэгія або выпадковая стратэгія - гэта чаргаванне чыстых стратэгій выпадковым чынам ці выбар чыстай стратэгіі з пэўнай верагоднасцю. Такую стратэгію яшчэ называюць рэндомизированной.

Разглядаючы такія паводзіны, мы атрымліваем новы погляд на раўнавагу па Нешу. Калі раней гаварылася пра тое, што гулец выбірае стратэгію адзін раз, то можна прадставіць і іншае паводзіны. Можна дапусціць той варыянт, што гульцы выбіраюць стратэгію выпадкова з пэўнай верагоднасцю. Гульні, у якіх нельга знайсці раўнавагі Нэша ў чыстых стратэгіях, заўсёды маюць іх у змешаных.

Раўнавагу Нэша ў змешаных стратэгіях называецца змяшаным раўнавагай. Гэта такая раўнавага, дзе кожны ўдзельнік выбірае аптымальную частату выбару сваіх стратэгій пры ўмове, што іншыя ўдзельнікі выбіраюць свае стратэгіі з зададзенай частатой.

Пенальці і змяшаная стратэгія

Прыклад змяшанай стратэгіі можна прывесці ў гульні ў футбол. Лепшая ілюстрацыя змяшанай стратэгіі - гэта, бадай, серыя пенальці. Так, у нас ёсць брамнік, які можа скокнуць толькі ў адзін кут, і гулец, які будзе біць пенальці.

Такім чынам, калі ў першы раз гулец абярэ стратэгію зрабіць удар у левы кут, а брамнік таксама ўпадзе ў гэты кут і зловіць мяч, то як могуць развівацца падзеі ў другі раз? Калі гулец будзе біць у супрацьлеглы вугал, гэта, хутчэй за ўсё, занадта відавочна, але і ўдар у той жа кут не менш відавочны. Таму і варатару, і які б'е нічога не застаецца, як пакласціся на выпадковы выбар.

Так, чаргуючы выпадковы выбар з пэўнай чыстай стратэгіяй, гулец і брамнік пытаються атрымаць максімальны вынік.