Даверны інтэрвал. Што гэта такое і як яго можна выкарыстоўваць?

Даверны інтэрвал прыйшоў да нас з вобласці статыстыкі. Гэта пэўны дыяпазон, які служыць для ацэнкі невядомага параметра з высокай ступенню надзейнасці. Прасцей за ўсё гэта будзе растлумачыць на прыкладзе.

Выкажам здагадку, трэба даследаваць якую-небудзь выпадковую велічыню, напрыклад, хуткасць водгуку сервера на запыт кліента. Кожны раз, калі карыстальнік набірае адрас канкрэтнага сайта, сервер рэагуе на гэта з рознай хуткасцю. Такім чынам, доследнае час водгуку мае выпадковы характар. Дык вось, даверны інтэрвал дазваляе вызначыць межы гэтага параметру, і затым можна будзе сцвярджаць, што з верагоднасцю ў 95% хуткасць рэакцыі сервера будзе знаходзіцца ў разлічаным намі дыяпазоне.

Ці ж трэба даведацца, якой колькасці людзей вядома аб гандлёвай марцы фірмы. Калі будзе падлічаны даверны інтэрвал, то можна будзе, да прыкладу, сказаць што з 95% доляй верагоднасці доля спажыўцоў, якія ведаюць аб дадзенай гандлёвай марцы, знаходзіцца ў дыяпазоне ад 27% да 34%.

З гэтым тэрмінам цесна звязаная такая велічыня, як даверная верагоднасць. Яна ўяўляе сабой верагоднасць таго, што шуканы параметр уваходзіць у даверны інтэрвал. Ад гэтай велічыні залежыць тое, наколькі вялікім апынецца наш шуканы дыяпазон. Чым большае значэнне яна прымае, тым ужо становіцца даверны інтэрвал, і наадварот. Звычайна яе усталёўваюць роўнай 90%, 95% ці 99%. Велічыня 95% найбольш папулярная.

На дадзены паказчык таксама аказвае ўплыў дысперсія назіранняў і памер выбаркі. Яго вызначэнне заснавана на тым здагадцы, што доследны прыкмета падпарадкоўваецца нармальнаму законе размеркавання. Гэта зацвярджэнне вядома таксама як Закон Гаўса. Згодна з ім, нармальным называецца такое размеркаванне ўсіх верагоднасцяў бесперапыннай выпадковай велічыні, якое можна апісаць шчыльнасцю верагоднасцяў. Калі здагадка аб нармальным размеркаванні аказалася памылковым, то адзнака можа апынуцца няслушнай.

Спачатку разбярэмся з тым, як вылічыць даверны інтэрвал для матэматычнага чакання. Тут магчымыя два выпадкі. Дысперсія (ступень роскіду выпадковай велічыні) можа быць вядомая альбо няма. Калі яна вядомая, то наш даверны інтэрвал вылічаецца з дапамогай наступнай формулы:

хср - t * σ / (sqrt (n)) <= α <= хср + t * σ / (sqrt (n)), дзе

α - прыкмета,

t - параметр з табліцы размеркавання Лапласа,

sqrt (n) - квадратны корань агульнай аб'ёму выбаркі ,

σ - квадратны корань дысперсіі.

Калі дысперсія невядомая, то яе можна разлічыць, калі нам вядомыя ўсе значэння шуканага прыкметы. Для гэтага выкарыстоўваецца наступная формула:

σ2 = х2ср - (хср) 2, дзе

х2ср - сярэдняе значэнне квадратаў доследнага прыкметы,

(хср) 2 - квадрат сярэдняга значэння дадзенага прыкметы.

Формула, па якой у гэтым выпадку разлічваецца даверны інтэрвал трохі змяняецца:

хср - t * s / (sqrt (n)) <= α <= хср + t * s / (sqrt (n)), дзе

хср - выбарачнае сярэдняе,

α - прыкмета,

t - параметр, які знаходзяць з дапамогай табліцы размеркавання Ст'юдэнту t = t (ɣ; n-1),

sqrt (n) - квадратны корань агульнага аб'ёму выбаркі,

s - квадратны корань дысперсіі.

Разгледзь такі прыклад. Выкажам здагадку, што па выніках 7 замераў была вызначана сярэдняя велічыня доследнага прыкметы, роўная 30 і дысперсія выбаркі, роўная 36. Трэба знайсці з верагоднасцю ў 99% даверны інтэрвал, які змяшчае праўдзівае значэнне вымяранага параметру.

Спачатку вызначым чаму роўна t: t = t (0,99; 7-1) = 3.71. Выкарыстоўваем прыведзеную вышэй формулу, атрымліваем:

хср - t * s / (sqrt (n)) <= α <= хср + t * s / (sqrt (n))

30 - 3.71 * 36 / (sqrt (7)) <= α <= 30 + 3.71 * 36 / (sqrt (7))

21.587 <= α <= 38.413

Даверны інтэрвал для дысперсіі разлічваецца як у выпадку з вядомым сярэднім, так і тады, калі няма ніякіх дадзеных аб матэматычным чаканні, а вядома толькі значэнне кропкавай несмещенной ацэнкі дысперсіі. Мы не будзем прыводзіць тут формулы яго разліку, бо яны даволі складаныя і пры жаданні іх заўсёды можна знайсці ў сеткі.

Адзначым толькі, што даверны інтэрвал зручна вызначаць з дапамогай праграмы Excel або сеткавага сэрвісу, які так і называецца.