Розныя спосабы доказы тэарэмы Піфагора: прыклады, апісанне і водгукі

У адным можна быць упэўненым на ўсе сто адсоткаў, што на пытанне, чаму роўны квадрат гіпатэнузы, любы дарослы чалавек смела адкажа: «Сума квадратаў катэт». Гэтая тэарэма трывала засела ў свядомасці кожнага адукаванага чалавека, але дастаткова толькі папрасіць каго-небудзь яе даказаць, і тут могуць узнікнуць складанасці. Таму давайце ўспомнім і разгледзім розныя спосабы доказы тэарэмы Піфагора.

Кароткі агляд біяграфіі

Тэарэма Піфагора знаёмая практычна кожнаму, але чамусьці біяграфія чалавека, які вырабіў яе на свет, не так папулярная. Гэта папраўна. Таму перш чым вывучыць розныя спосабы доказы тэарэмы Піфагора, трэба коратка пазнаёміцца з яго асобай.

Піфагор - філосаф, матэматык, мысляр родам з Старажытнай Грэцыі. Сёння вельмі складана адрозніць яго біяграфію ад легенд, якія склаліся ў памяць аб гэтым вялікім чалавеку. Але як вынікае з працы ягонай паслядоўнікаў, Піфагор Самосский нарадзіўся на востраве Самос. Яго бацька быў звычайны камнереза, а вось маці паходзіла з роду.

Мяркуючы па легендзе, з'яўленне на свет Піфагора прадказала жанчына па імі Пифия, у чый гонар і назвалі хлопчыка. Паводле яе прадказанню народжаны хлопчык павінен быў прынесці шмат карысці і дабра чалавецтву. Што наогул-то ён і зрабіў.

нараджэнне тэарэмы

У юнацтве Піфагор пераехаў з выспы Самос ў Егіпет, каб сустрэцца там з вядомымі егіпецкімі мудрацамі. Пасля сустрэчы з імі ён быў дапушчаны да навучання, дзе і спазнаў усе вялікія дасягненні егіпецкай філасофіі, матэматыкі і медыцыны.

Верагодна, менавіта ў Егіпце Піфагор натхніўся вялікасцю і прыгажосцю пірамід і стварыў сваю вялікую тэорыю. Гэта можа шакаваць чытачоў, але сучасныя гісторыкі лічаць, што Піфагор ня даказваў сваю тэорыю. А толькі перадаў сваё веданне паслядоўнікам, якія пазней і завяршылі ўсе неабходныя матэматычныя вылічэнні.

Як бы там ні было, сёння вядомая не адна методыка доказы дадзенай тэарэмы, а адразу некалькі. Сёння застаецца толькі гадаць, як менавіта старажытныя грэкі выраблялі свае вылічэнні, таму тут разгледзім розныя спосабы доказы тэарэмы Піфагора.

Тэарэма Піфагора

Перш чым пачынаць якія-небудзь вылічэнні, трэба высветліць, якую тэорыю трэба будзе даказаць. Тэарэма Піфагора гучыць так: «У трохвугольніку, у якога адзін з кутоў роўны 90 ^аб, сума квадратаў катэт роўная квадрату гіпатэнузы».

Усяго існуе 15 розных спосабаў доказы тэарэмы Піфагора. Гэта досыць вялікая лічба, таму нададзім увагу самым папулярным з іх.

спосаб першы

Спачатку абазначым, што нам дадзена. Гэтыя дадзеныя будуць распаўсюджвацца і на іншыя спосабы доказаў тэарэмы Піфагора, таму варта адразу запомніць усё наяўнае абазначэння.

Дапусцім, дадзены прастакутны трыкутнік, з катэтамі а, ў і гіпатэнузай, роўнай с. Першы спосаб доказы грунтуецца на тым, што з прастакутнага трыкутніка трэба дамаляваць квадрат.

Каб гэта зрабіць, трэба да катэты даўжынёй а дамаляваць адрэзак роўны катэты ў, і наадварот. Так павінна атрымацца дзве роўныя боку квадрата. Застаецца толькі намаляваць дзве паралельныя прамыя, і квадрат гатовы.

Ўнутры атрыманай фігуры трэба накрэсліць яшчэ адзін квадрат з бокам роўнай гіпатэнузе зыходнага трохвугольніка. Для гэтага ад вяршыняў ас і св трэба намаляваць два паралельных адрэзка роўных з. Такім чынам, атрымацца тры бакі квадрата, адна з якіх і ёсць гіпатэнуза зыходнага прастакутнага трыкутнікі. Застаецца толькі дочертить чацвёрты адрэзак.

На падставе атрыманага малюнка можна зрабіць выснову, што плошча вонкавага квадрата роўная (а + в) ^2. Калі зазірнуць ўнутр фігуры, можна ўбачыць, што акрамя ўнутранага квадрата ў ёй маецца чатыры прастакутных трыкутніка. Плошча кожнага роўная 0,5ав.

Таму плошчу роўная: 4 * 0,5ав + з ² = 2ав + з ²

Адсюль (а + в) ² = 2ав + з ²

І, такім чынам, з ² = а ² + у ²

Тэарэма даказаная.

Спосаб два: падобныя трыкутнікі

Дадзеная формула доказы тэарэмы Піфагора была выведзена на падставе зацвярджэння з падзелу геаметрыі пра падобныя трыкутніках. Яно абвяшчае, што катэт прастакутнага трыкутніка - сярэдняе прапарцыйнае для яго гіпатэнузы і адрэзка гіпатэнузы, выходнага з вяршыні кута 90 ^а.

Зыходныя дадзеныя застаюцца тыя ж, таму пачнем адразу з доказы. Правядзем перпендыкулярны баку АВ адрэзак СД. Грунтуючыся на вышэйапісаным зацвярджэнні катэты трыкутнікаў роўныя:

АС = √АВ * ПЕКЛА, СВ = √АВ * ДВ.

Каб адказаць на пытанне, як даказаць тэарэму Піфагора, доказ трэба пракласці ўзвядзеннем ў квадрат абодвух няроўнасцей.

АС ² = АВ * ПЕКЛА і СВ ² = АВ * ДВ

Зараз трэба скласці атрыманыя няроўнасці.

АС ² + СВ ² = АВ * (ПЕКЛА * ДВ), дзе ПЕКЛА + ДВ = АВ

Атрымліваецца, што:

АС ² + СВ ² = АВ * АВ

І, такім чынам:

АС ² + СВ ² = АВ ²

Доказ тэарэмы Піфагора і розныя спосабы яе вырашэння маюць патрэбу ў рознабаковым падыходзе да дадзенай задачы. Аднак гэты варыянт з'яўляецца адным з самых простых.

Яшчэ адна методыка разлікаў

Апісанне розных спосабаў доказы тэарэмы Піфагора могуць ні пра што не сказаць, да тых самых часу, пакуль самастойна не зоймешся практыцы. Многія методыкі прадугледжваюць не толькі матэматычныя разлікі, але і пабудова з зыходнага трыкутніка новых фігур.

У дадзеным выпадку неабходна ад катэта нд дабудаваць яшчэ адзін прастакутны трыкутнік ВСД. Такім чынам, цяпер маецца два трыкутніка з агульным катэты ВС.

Ведаючы, што плошчы падобных фігур маюць суадносіны як квадраты іх падобных лінейных памераў, то:

S _АВС * з ² - S _авд * у ² = S _авд * а ² - S _ВСД * а ²

S _АВС * (з ² -у ²⁾ = а ² * (S _авд -S _ВСД)

з ² -у ² = а ²

з ² = а ² + у ²

Паколькі з розных спосабаў доказаў тэарэмы Піфагора для 8 класа гэты варыянт наўрад ці падыдзе, можна скарыстацца наступнай методыкай.

Самы просты спосаб даказаць тэарэму Піфагора. водгукі

Як мяркуюць гісторыкі, гэты спосаб быў упершыню выкарыстаны для доказу тэарэмы яшчэ ў старажытнай Грэцыі. Ён з'яўляецца самым простым, так як не патрабуе абсалютна ніякіх разлікаў. Калі правільна накрэсліць малюнак, то доказ сцвярджэнні, што а ² + у ² = з ^2, будзе відаць наглядна.

Ўмовы для дадзенага спосабу будзе трохі адрознівацца ад папярэдняга. Каб даказаць тэарэму, выкажам здагадку, што прастакутны трыкутнік АВС - роўнабаковы.

Гіпатэнузу АС прымаем за бок квадрата і дочерчиваем тры яго боку. Акрамя гэтага неабходна правесці дзве дыяганальныя прамыя ў атрыманай квадраце. Такім чынам, каб унутры яго атрымалася чатыры роўнабаковага трыкутніка.

Да катэты АВ і СВ гэтак жа трэба дочертить па квадрату і правесці па адной дыяганальнай прамой ў кожным з іх. Першую прамую рыса з вяршыні А, другую - з С.

Цяпер трэба ўважліва прыгледзецца ў атрыманы малюнак. Паколькі на гіпатэнузе АС ляжыць чатыры трыкутніка, роўныя зыходнаму, а на катэты па два, гэта кажа аб праўдзівасці дадзенай тэарэмы.

Дарэчы, дзякуючы дадзенай методыцы доказы тэарэмы Піфагора і з'явілася на свет знакамітая фраза: «піфагоравы штаны ва ўсе бакі роўныя».

Доказ Дж. Гарфілд

Джэймс Гарфілд - дваццаты прэзідэнт Злучаных Штатаў Амерыкі. Акрамя таго, што ён пакінуў свой след у гісторыі як кіраўнік ЗША, ён быў яшчэ і таленавітым самавук.

У пачатку сваёй кар'еры ён быў звычайным выкладчыкам у народнай школе, але неўзабаве стаў дырэктарам аднаго з вышэйшых навучальных устаноў. Імкненне да самаразвіцця і дазволіла яму прапанаваць новую тэорыю доказы тэарэмы Піфагора. Тэарэма і прыклад яе вырашэння выглядае наступным чынам.

Спачатку трэба накрэсліць на аркушы паперы два прастакутных трыкутніка такім чынам, каб катэт аднаго з іх быў працягам другога. Вяршыні гэтых трыкутнікаў трэба злучыць, каб у канчатковым выніку атрымалася трапецыя.

Як вядома, плошча трапецыі роўная твору полусуммы яе падстаў на вышыню.

S = а + в / 2 * (а + в)

Калі разгледзець атрыманую трапецыю, як постаць, якая складаецца з трох трыкутнікаў, то яе пляц можна знайсці так:

S = ав / 2 * 2 + з ^2/2

Зараз неабходна зраўнаваць два зыходных выразы

2ав / 2 + с / 2 = (а + в) ^2/2

з ² = а ² + у ²

Аб тэарэме Піфагора і спосабах яе доказы можна напісаць не адзін том навучальнага дапаможніка. Але ці ёсць у ім сэнс, калі гэтыя веды нельга прымяніць на практыцы?

Практычнае прымяненне тэарэмы Піфагора

На жаль, у сучасных школьных праграмах прадугледжана выкарыстанне дадзенай тэарэмы толькі ў геаметрычных задачах. Выпускнікі хутка пакінуць школьныя сцены, так і не даведаўшыся, а як яны могуць прымяніць свае веды і ўменні на практыцы.

На самай жа справе выкарыстаць тэарэму Піфагора ў сваім штодзённым жыцці можа кожны. Прычым не толькі ў прафесійнай дзейнасці, але і ў звычайных хатніх справах. Разгледзім некалькі выпадкаў, калі тэарэма Піфагора і спосабы яе доказы могуць апынуцца вельмі неабходнымі.

Сувязь тэарэмы і астраноміі

Здавалася б, як могуць быць звязаныя зоркі і трыкутнікі на паперы. На самай жа справе астраномія - гэта навуковая сфера, у якой шырока выкарыстоўваецца тэарэма Піфагора.

Напрыклад, разгледзім рух светлавога прамяня ў космасе. Вядома, што святло рухаецца ў абодва бакі з аднолькавай хуткасцю. Траекторыю АВ, якой рухаецца прамень святла назавем l. А палову часу, якое неабходна святла, каб патрапіць з кропкі А ў кропку Б, назавем t. І хуткасць прамяня - c. Атрымліваецца, што: c * t = l

Калі паглядзець на гэты самы прамень з іншай плоскасці, напрыклад, з касмічнага лайнера, які рухаецца з хуткасцю v, то пры такім назіранні тэл іх хуткасць зменіцца. Пры гэтым нават нерухомыя элементы стануць рухацца з хуткасцю v ў зваротным кірунку.

Дапусцім, камічны лайнер плыве направа. Тады кропкі А і В, паміж якімі кідаецца прамень, стануць рухацца налева. Прычым, калі прамень рухаецца ад кропкі А ў кропку У, кропка А паспявае перамясціцца і, адпаведна, свет ужо прыбудзе ў новую кропку С. Каб знайсці палову адлегласці, на якое зрушылася кропка А, трэба хуткасць лайнера памножыць на палову часу падарожжа прамяня (t ').

d = t '* v

А каб знайсці, якую адлегласць за гэты час змог прайсці прамень святла, трэба пазначыць палову шляху новай буковой s і атрымаць наступнае выраз:

s = c * t '

Калі ўявіць, што кропкі святла С і В, а таксама касмічны лайнер - гэта вяршыні роўнабаковага трыкутніка, то адрэзак ад пункту А да лайнера падзеліць яго на два прастакутных трыкутніка. Таму дзякуючы тэарэме Піфагора можна знайсці адлегласць, якое змог прайсці прамень святла.

s ² = l ² + d ²

Гэты прыклад, вядома, не самы ўдалы, так як толькі адзінкам можа пашчасціць апрабаваць яго на практыцы. Таму разгледзім больш прыземленыя варыянты прымянення гэтай тэарэмы.

Радыус перадачы мабільнага сігналу

Сучаснае жыццё ўжо немагчыма ўявіць без існавання смартфонаў. Але ці шмат было б ад іх карысці, калі б яны не маглі злучаць абанентаў з дапамогай мабільнай сувязі ?!

Якасць мабільнай сувязі напрамую залежыць ад таго, на якой вышыні знаходзіцца антэна мабільнага аператара. Для таго каб вылічыць, якой адлегласці ад мабільнай вышкі тэлефон можа прымаць сігнал, можна ўжыць тэарэму Піфагора.

Дапусцім, трэба знайсці прыблізную вышыню стацыянарнай вышкі, каб яна магла распаўсюджваць сігнал у радыусе 200 кіламетраў.

АВ (вышыня вышкі) = х;

ВС (радыус перадачы сігналу) = 200 км;

АС (радыус зямнога шара) = 6380 км;

адсюль

ОВ = ОА + АВОВ = r + х

Ужыўшы тэарэму Піфагора, высветлім, што мінімальная вышыня вышкі павінна скласці 2,3 кіламетра.

Тэарэма Піфагора ў побыце

Як ні дзіўна, тэарэма Піфагора можа апынуцца карыснай нават у бытавых справах, такіх як вызначэнне вышыні шафы-купэ, напрыклад. На першы погляд, няма неабходнасці выкарыстоўваць такія складаныя вылічэнні, бо можна проста зняць меркі з дапамогай рулеткі. Але многія здзіўляюцца, чаму ў працэсе зборкі узнікаюць пэўныя праблемы, калі ўсе меркі былі зняты больш чым дакладна.

Справа ў тым, што шафа-купэ збіраецца ў гарызантальным становішчы і толькі потым падымаецца і усталёўваецца да сцяны. Таму бакавіна шафы ў час пад'ёму канструкцыі павінна вольна праходзіць і па вышыні, і па дыяганалі памяшкання.

Выкажам здагадку, маецца шафа-купэ глыбінёй 800 мм. Адлегласць ад падлогі да столі - 2600 мм. Дасведчаны мэбельшчыкі скажа, што вышыня шафы павінна быць на 126 мм менш, чым вышыня памяшкання. Але чаму менавіта на 126 мм? Разгледзім на прыкладзе.

Пры ідэальных габарытах шафы праверым дзеянне тэарэмы Піфагора:

АС = √АВ ² + √ВС ²

АС = √2474 ² 800 ² = 2600 мм - усё сыходзіцца.

Дапусцім, вышыня шафы роўная ня 2474 мм, а 2505 мм. тады:

АС = √2505 ² + √800 ² = 2629 мм.

Такім чынам, гэты шафа не падыдзе для ўстаноўкі ў дадзеным памяшканні. Бо пры ўзняцці яго ў вертыкальнае становішча можна нанесці шкоду яго корпуса.

Мабыць, разгледзеўшы розныя спосабы доказы тэарэмы Піфагора рознымі навукоўцамі, можна зрабіць выснову, што яна больш чым праўдзівая. Зараз можна выкарыстоўваць атрыманую інфармацыю ў сваім штодзённым жыцці і быць цалкам упэўненым, што ўсе разлікі будуць не толькі карысныя, але і верны.