Парадокс Монті Хола

Паспрабуем разабраць даўно нашумелую задачку, апублікаваную 23 гады назад у часопісе "Parade Magazine" і якая стала своеасаблівым рэхам вядомага амерыканскага шоу "Давайце заключым здзелку" (у перакладзе). У асновах задачы стаяў парадокс Монті Хола.

Паспрабуем аднавіць апісваныя падзеі. Уявіце сябе ўдзельнікам які праводзіцца тады шоў. Вас падводзяць да трох дзвярэй і даюць магчымасць паказаць толькі на адну, папярэдзіўшы пры гэтым, што за кожнай дзвярамі схаваныя прызы. Галоўным прызам з'яўляюцца ключы ад шыкоўнага аўтамабіля, якія вы забярэце, калі адкрыеце "правільную" дзверы, за якія засталіся дзвярыма схавалі суцяшальныя прызы, а дакладней - па казлу. Вядома, суцяшальны прыз вас не ўзрадуе, - вас цікавіць галоўны прыз.

Пасля доўгага роздуму вы ў нерашучасці паказваеце на адну з дзвярэй (скажам, на першую). Пра тое, што ўяўляе парадокс Монті Хола, вы, зразумела, не ведаеце, а таму проста спадзеяцеся на тое, што цуды ўсё ж такі часам здараюцца.

Але вядучы чамусьці адчыняе не тыя дзверы, на якую вырашылі пазначыць вы, а іншую (он-то дакладна ведае, дзе менавіта схаваныя ключыкі). І адкрывае ён тыя дзверы, за якой схавалі казла. Скажам, трэцюю. Вядучы палягчае задачу, падаючы цяпер для выбару толькі двое дзвярэй. Мала таго, ён прапануе яшчэ раз падумаць і дазваляе назваць іншую дзверы, калі ў вас зьявіўся сумнеў.

Ці павялічыцца шанец забраць ключы, калі вы зменіце рашэнне і пакажаце на другія дзверы? Падумайце хвілінку. На чым спыніцеся?

Правільны адказ: адкрываючы іншую дзверы, вы павялічваеце шанцы на атрыманне ключоў ўдвая. Сумняваецеся? Многія сумняюцца. Але менавіта ў гэтым і складаецца парадокс Монті Хола.

Тлумачэнне парадоксу ў наступным. Дапусцім, вы выбіраеце цяпер першую дзверы. Уявім дзверы ў выглядзе двух велічынь (значэнняў). Велічыню А пазначым першую (выбраную толькі што вамі) дзверы, а велічынёй В - тыя, што засталіся дзвярэй. Верагоднасць траплення ключоў у А складае 1/3, а магчымасць траплення ключоў у другую велічыню У роўная, адпаведна, 2/3. Згодны? Далей. Калі б у вас з'явілася магчымасць адкрыць другую і трэцюю дзверы, схіліўшыся на карысць велічыні У, то шанцы з'ехаць на аўтамабілі стала б удвая больш.

Разгледзім гэта больш пільна. Вы ўпэўненыя, што ў велічыні У напэўна ёсць казёл (мінімум адзін) і, магчыма, ключы. Адкрыццё адной дзверы асабліва, быццам бы, становішча не мяняе: па ранейшаму застаюцца дзве магчымасці: выйгрыш аўтамабіля і выйгрыш казла. Але, спыніўшыся на велічыні У, верагоднасць выйгрышу вы ўсё ж такі павялічыце да 2/3, бо для велічыні А верагоднасць складае толькі 1/3.

Яшчэ адзін, ужо схематычны, прыклад:

д1 д2 д3 змена выбару без змены выбару
да ж ж ж да
ж да ж да ж
ж ж к к ж

дзе д1 - дзверы першая, д2 - дзверы другая, д3 - дзверы трэцяя, ж - жывёла (казёл), да - ключы (машына).

Некаторыя не прымаюць парадокс Монті Хола ўсур'ёз, сцвярджаючы, што верагоднасць выйгрышу ключоў па-ранейшаму 50/50 ( "ці-ці"). Але шматразовая праверка ўсё ж такі пацвярджае: тэорыя мае сваё абгрунтаванае права на існаванне і спрацоўвае ў 2/3 выпадкаў з усіх прадстаўленых. Скажам, з трыццаці прадстаўленых магчымасцяў згуляць вам ўдасца знайсці правільны адказ у дваццаці. А гэта даволі высокі адсотак.

І часта менавіта парадокс Монті Хола выкарыстоўваюць гульцы, робячы стаўкі на рулетцы, або гуляючы ў карты. Чаму ж тады яны прайграюць? Адказ відавочны: губіць прагнасць. Або азарт. Як заўгодна. Зняўшы банк, гулец ўжо не ў сілах спыніць ўсхадзіўся пачуцці і робіць яшчэ адну стаўку, ужо забываючы аб тэорыі. А бо пройгрыш ніхто не адмяняў. Гаворка ідзе пра працэнтных суадносінах выйгрышу да пройгрышу.

Парадокс Монті Хола даказвае: пасля адкрытай дзверы з казлом гульня заўсёды выгадна змяніць першапачатковы выбар, паколькі шанцы ўсё ж такі павялічваюцца. Вось такія вось яны, парадоксы тэорыі верагоднасці.

Калі ж тлумачэнне засталося вам незразумелым, паспрабуйце праігнараваць пакуль гэтыя довады і праверце тэорыю статыстычна (ці, калі заўгодна, эксперыментальна, у серыі эксперыментаў). Падобная матэматыка заўсёды цікавая. Ўдачы!